長方形 −1 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 1 上での (x − 4y) の積分について、領域を述べ、二重積分を計算し、積分順序を入れ替えて再び計算せよ。

Step-by-step solution

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   (a) 積分区間を読む。 内側の変数は $x$ で区間は定数の $-1$ から $2$、外側は $y$ で $0$ から $1$ である。4 つの端がすべて定数なので、領域は長方形である：

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\}$

   頂点は $(-1,0)$、$(2,0)$、$(2,1)$、$(-1,1)$ である。

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   (b) y を定数として x で積分する。

   $\int_{-1}^{2}(x-4y)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-4yx\right]_{-1}^{2}=(2-8y)-\left(\tfrac12+4y\right)=\frac{3}{2}-12y$

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   その結果を y で積分する。

   $\int_{0}^{1}\left(\frac32-12y\right)dy=\left[\frac{3y}{2}-6y^{2}\right]_{0}^{1}=\frac32-6=-\frac92$

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   (c) 順序を入れ替える。 長方形上では積分区間が入れ替わるだけである——どちらの変数の範囲も他方に依存しないので、場合分けは要らない：

   $\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy\,dx$

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   新しい順序で計算する。 内側の $y$ 積分：

   $\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy=\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{1}=x-2$

   続いて $x$ で：

   $\int_{-1}^{2}(x-2)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{-1}^{2}=(2-4)-\left(\tfrac12+2\right)=-2-\tfrac52=-\frac92$

   $\boxed{-\dfrac92}$

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   近道でも確認する。 被積分関数が分離でき領域が長方形なので、$\iint_D(x-4y)\,dA=\left(\int_{-1}^{2}x\,dx\right)(1)-4\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)(3)=\tfrac32-4\left(\tfrac12\right)(3)=\tfrac32-6=-\tfrac92$ となり、どちらの順序とも一致する——長方形上の連続な被積分関数について 2 つの順序が一致することを保証する、フビニの定理の一例である。