n = 1 から無限大までの (−1)^n (1/n − 1/(n+2)) x^n の和の収束区間を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を1つの分数にまとめる。 共通分母$n(n+2)$を取ると：

   $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$

   $59$までのすべての$n$で厳密に確認済み ✓。この形にすると減衰の速さが目に見えるようになる——もとの差の形では隠れていたものである。

2. 2

   符号を変数に吸収させる。 $(-1)^{n}x^{n}=(-x)^{n}$なので、級数は

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+2)}(-x)^{n}$

   すなわち係数が正である$-x$のべき級数になる。こちらのほうが解析しやすく、しかも$x$についての区間はどのみち対称になる。

3. 3

   比の判定法で収束半径を求める。 $c_{n}=\dfrac{2}{n(n+2)}$として、

   $\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\longrightarrow1$

   （数値では$n=10$で$0.8392$、$n=100$で$0.98049$、$n=1000$で$0.998005$ ✓）。よって収束半径は$R=1$であり、級数は$|x|<1$で収束し$|x|>1$で発散する。端点は別に調べる必要がある。

4. 4

   $x=1$を調べる。 項は$\dfrac{2(-1)^{n}}{n(n+2)}$になり、

   $\frac{2}{n(n+2)}\sim\frac{2}{n^{2}}$

   なので、収束する$p$級数$\sum n^{-2}$（$p=2>1$）との比較により絶対収束することが分かる ✓。

5. 5

   $x=-1$を調べる。 このとき$(-x)^{n}=1$なので、級数は正項の望遠鏡和

   $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac12=\frac32$

   になる。途中の項がすべて相殺し、$\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}\to0$となるからである。$n=19999$までの部分和は$1.49990$であり ✓、$\tfrac32$への収束を裏付けている。

6. 6

   区間を述べる。 両端とも収束するので、収束区間は

   $[-1,1]$

   すなわち閉区間である。これは係数が$1/n^{2}$型で減衰することによって得られたものである。減衰が$1/n$程度でしかなければ、半開区間になっていたはずである。