放物線 2y = x² と直線 y = x で囲まれた領域 D 上での x/(x² + y²) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   2 曲線の交点を求める。 $2y=x^2$ より $y=\tfrac{x^2}{2}$ である。$\tfrac{x^2}{2}=x$ とおくと $x^2-2x=0$ なので $x=0$ または $x=2$、交点は $(0,0)$ と $(2,2)$ である。

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   どちらの曲線が上かを決める。 $x=1$ では直線が $y=1$、放物線が $y=\tfrac12$ を与えるので、上側の境界は直線である。領域は $0\le x\le 2,\qquad\frac{x^2}{2}\le y\le x.$ である。

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   まず $y$ で積分する。 $x$ を定数と見ると $\int\frac{x\,dy}{x^2+y^2}=\arctan\frac{y}{x}.$ $y$ を内側の変数に選ぶことで、分子の $x$ が役に立つ働きをする。

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   積分区間の端を代入する。 $y=x$ では中身は $1$、$y=\tfrac{x^2}{2}$ では $\tfrac{x}{2}$ である。よって $I=\int_0^2\left(\arctan 1-\arctan\frac{x}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}-\int_0^2\arctan\frac{x}{2}\,dx.$

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   残った積分を部分積分で計算する。 $u=\tfrac{x}{2}$ とおくとこれは $2\int_0^1\arctan u\,du$ になり、$\int\arctan u\,du=u\arctan u-\tfrac12\ln(1+u^2)$ なので $2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\ln 2.$

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   合わせる。 $I=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\ln 2\right)=\ln 2\approx 0.693147,$ となり、$\int_0^2\left(\tfrac{\pi}{4}-\arctan\tfrac{x}{2}\right)dx$ の直接の数値計算とも一致する。