1/Γ(3/5) に、n = 1 から無限大までの (1/10)^(8n/5 + 1) を Γ(8n/5 + 1) で割った和を掛けた値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   級数の形を見抜く。 一般項 $\dfrac{z^{\alpha n+1}}{\Gamma(\alpha n+1)}$ に $z=\tfrac{1}{10}$、$\alpha=\tfrac85$ を入れた形で、これはミッタク・レフラー型の項である。初等的な閉じた形は存在しないので、実際的な道は数値的に和を取ることになる。しかも $z<1$ である一方 $\Gamma(\alpha n+1)$ は超指数的に増大するため、重みをもつ項はごくわずかしかない。

2. 2

   $n=1$ の項を計算する。 指数は $\tfrac85(1)+1=2.6$ なので、項は $\dfrac{10^{-2.6}}{\Gamma(2.6)}=\dfrac{2.511886\times10^{-3}}{1.4296246}=1.757025\times10^{-3}$ となる。

3. 3

   $n=2$ と $n=3$ の項を計算する。 $n=2$ では指数が $4.2$ で、$\dfrac{10^{-4.2}}{\Gamma(4.2)}=\dfrac{6.309573\times10^{-5}}{7.7566895}=8.134364\times10^{-6}$。$n=3$ では指数が $5.8$ で、$\dfrac{10^{-5.8}}{\Gamma(5.8)}=\dfrac{1.584893\times10^{-6}}{85.621738}=1.851041\times10^{-8}$ である。

4. 4

   残りの項が無視できることを確かめる。 $n=4$ の項は $2.58\times10^{-11}$、$n=5$ の項は $2.48\times10^{-14}$ であり、項は 1 つ進むごとにおよそ 2〜3 桁ずつ落ちる。したがって $n=3$ で打ち切っても、和は有効数字 6 桁をはるかに超える精度で確定する： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(1.6n+1)}}{\Gamma(1.6n+1)}=1.765178\times10^{-3}.$

5. 5

   $\Gamma(3/5)$ で割る。 $\Gamma(0.6)=1.4891922$ なので、 $\frac{1.765178\times10^{-3}}{1.4891922}=1.185326\times10^{-3}.$

6. 6

   値を述べる。 式全体は有効数字 6 桁で $0.00118533$ に等しい。$n=1$ の項だけですでにその 99.5 パーセントを占めている。