卡在這題？用 AI 解開它

Calculus questions asked by real students

Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

解 3cos 2x = 2ln(x − 1)：三個數值根約為 1.28378、2.49096、3.58430

這個方程式恰好有三個根：x ≈ 1.28378、2.49096 與 3.58430。超過 x = 1 + e^1.5 ≈ 5.48 之後對數項的絕對值就大於 3，兩邊不可能再相交。

用分離變數法解 ẋ = 4tx²：解是 x = 1/(C − 2t²) 以及 x ≡ 0

解有兩類：x(t) = 1/(C − 2t²)，再加上常數解 x = 0——後者正是在除以 x² 那一步被分離變數法漏掉的。內含完整推導與驗算。

分析阻尼餘弦 f(x) = e^(−αx)·cos x：f(0) = 1、週期 2π、包絡線 y = ±e^(−αx)

f(0) = 1，振盪的週期是 2π，包絡線是 y = ±e^(−αx)。α 的正負決定了振幅是逐漸衰減、維持不變，還是不斷放大。

用降冪公式積分 cos²x：答案是 x/2 + sin(2x)/4 + C

反導函數是 x/2 + sin(2x)/4 + C。把 cos²x 改寫成 (1 + cos 2x)/2 就消掉了平方，原本的乘積變成兩個基本積分。

積分 1/(Dⁿ + Ka)^(1/n)：答案是 D(Ka)^(−1/n)·₂F₁(1/n, 1/n; 1 + 1/n; −Dⁿ/Ka) + C

反導函數是 D(Ka)^(−1/n)·₂F₁(1/n, 1/n; 1 + 1/n; −Dⁿ/Ka) + C。先把 Ka 提出來，再用二項級數展開並逐項積分；n = 2 時會退化成反雙曲正弦。

積分 sin(a ln x)/x^b：答案是 x^(1−b)[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)² + a²) + C

結果是 x^(1−b)[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)² + a²) + C。用 u = ln x 做變數代換，它就變成標準的「指數乘正弦」積分。

1/(2x + 1) 的反導函數，F(0) = 0 並求值

F(x) = (1/2) ln(2x + 1)，且 F((e² − 1)/2) = 1。用 u = 2x + 1 代換，再由 F(0) = 0 定出積分常數為 0，最後注意 2x + 1 剛好縮成 e²。

求拋物線 y = x² 與直線 y = x + 2 圍成的面積：答案是 9/2

兩條曲線交於 x = −1 與 x = 2，在這個區間上積分 (x + 2) − x²，圍成的面積剛好是 9/2 平方單位。

用二重積分求 y = 4x − x² 與 y = x 之間的面積：答案是 9/2

面積是 9/2。先求出交點 x = 0 與 x = 3，再把常數 1 對 y 從 x 積到 4x − x²，最後對條狀高度 3x − x² 積分即可。

用極座標求兩圓之間的面積

由 x² + y² = 7y、x² + y² = 9y 以及 y = x/√3、x = 0 所圍的區域，面積為 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84。逐步列出並計算極座標的面積積分。

y = x³ 從 x = 3 變到 5 的平均變化率：答案是 49

平均變化率是 49。計算 (f(5) − f(3))/(5 − 3) = (125 − 27)/2，也就是三次曲線上連接這兩點的割線斜率。

計算巴塞爾級數 1/n² 從 n = 1 加到無窮：答案是 π²/6 ≈ 1.6449

總和是 π²/6，約等於 1.644934。它是 p = 2 的 p 級數所以收斂，而尤拉是把 sin(x)/x 依照它的根分解成無窮乘積，才求出這個精確值。

用代換 v = y⁻³ 解 3(1+t²)y′ = 2ty(y³−1)：答案是 y³ = 1/(1 + C(1+t²))

解是 y³ = 1/(1 + C(1+t²))。代換 v = y⁻³ 會把這個白努利方程式變成一階線性微分方程式，積分因子則是 1/(1+t²)。

(1 − x)^k 在 x = 0 的泰勒級數：答案是 Σ (−1)ⁿ C(k,n) xⁿ，收斂半徑為 1

答案是 Σ (−1)ⁿ C(k,n) xⁿ = 1 − kx + k(k−1)x²/2! − ⋯，在 |x| < 1 時成立。每一個負號都來自把 −x 代進二項展開式。

判別 (x²−1)/(x²−3x+2) 的不連續點型態

x = 1 是可去不連續，在 (1, −2) 有一個洞；x = 2 是不可去不連續，是鉛直漸近線。把分子分母都因式分解，看哪個零因式會被約掉。

求 Σ e^(1 + 2i/n) 的封閉形式：答案是 e^(1 + 2/n)(e² − 1)/(e^(2/n) − 1)

總和等於 e^(1 + 2/n)(e² − 1)/(e^(2/n) − 1)。每一項都是前一項乘以 e^(2/n)，所以可以直接套有限項等比級數公式。

用格林定理算封閉線積分 (eʸ+x)dx + (xeʸ−2y)dy：答案是 0

積分值是 0。格林定理把它化成 dQ/dx − dP/dy 的二重積分，而兩個偏導數都等於 e^y，被積函數為零，所以封閉路徑長什麼樣子完全不影響結果。

證明 Σ sin(nx)/(n ln n) 在 x = 0 連續：拆成頭尾兩段各自趨於 0

在 N = ⌊1/x⌋ 處拆開：前段用 |sin nx| ≤ nx 可界定在 1/(√N ln 2) + 2/ln N 以內，後段用阿貝爾分部求和界定在 2π/ln(N + 1) 以內。x → 0 時兩者都趨於 0。

Σ 1/(1 + n ln²n) 收斂嗎：收斂，總和約為 2.4919

它與貝特朗級數 1/(n ln²n) 比較後可判定收斂。這個和沒有初等的封閉形式；實際值約 2.4919，而不是短的部分和所暗示的 2.42。

判定 Σ ln(1 + (−1)ⁿ/nᵅ)：α > 1 絕對收斂、1/2 < α ≤ 1 條件收斂、α ≤ 1/2 發散

α > 1 時絕對收斂，1/2 < α ≤ 1 時條件收斂，0 < α ≤ 1/2 時發散——真正決定臨界情形的是 ln(1+x) 展開式裡的二次項。

判定二重積分 sin x sin y/(x+y)^p：p > 2 絕對收斂、1 < p ≤ 2 條件收斂、p ≤ 1 發散

這個積分在 p > 2 時絕對收斂，1 < p ≤ 2 時條件收斂，p ≤ 1 時發散。解法是先用代換 u = x + y，再對兩條尾巴套狄利克雷判別法。

求 y = x³/3 + x² − 8x + 1 的臨界值：答案是 x = −4 與 x = 2

臨界值是 x = −4 與 x = 2，較小的是 −4。微分後得到 y′ = x² + 2x − 8，因式分解成 (x + 4)(x − 2) 就能解出來。

分析曲線 y = −2x²eˣ：相對極小 (−2, −8/e²)、相對極大在原點

這條曲線永遠不會跑到 x 軸上方，在 (−2, −8/e²) 也就是約 −1.083 處有相對極小值，在原點有相對極大值，並在 x 趨於負無窮時由下方趨近 0。

計算定積分 1 從 0 積到 2π：答案是 2π ≈ 6.2832

答案是 2π，約等於 6.2832。積分常數 1 量出來的就是區間的長度，所以結果只是上限減去下限。

積分 1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 從 0 到 300：答案是 876.93758

答案是 876.93758，不是 876.93843。因為 e^(−23.58) 小到可以忽略，衰減項貢獻 a×k = 20.67158，常數項則貢獻 856.266。

積分 sin²x cos⁴x 從 π/8 到 π/12：答案是 (7 − π − 3√3 − 2√2)/384 ≈ −0.010849

值是 (7 − π − 3√3 − 2√2)/384 ≈ −0.010849。之所以是負的，只是因為下限 π/8 比上限 π/12 大，上下限顛倒會讓符號翻轉。

計算 ∫₀¹ √(x − x⁴) dx：用 Beta 函數求得 π/6 ≈ 0.5235988

答案是 π/6，約 0.5235988。代換 u = x³ 會把積分變成 B(1/2, 3/2)/3 這個 Beta 函數，再用 Gamma 函數的值就剛好收成 π/6。

用冪次法則積分 f(x) = x 從 0 到 4：答案是 8

定積分等於 8。把 x 積成 x²/2，再代入 4 與 0 相減，最後用直線 y = x 下方三角形的面積來確認。

積分 (x²cos(x/2) + ½)√(4 − x²) 從 −2 到 2：答案是 π + 16π(J₂(1) − J₃(1)) ≈ 7.93391

精確值是 π + 16π(J₂(1) − J₃(1)) = 7.9339103333。常數 ½ 那一項給出半圓面積 π；x²cos(x/2) 那一項則是一個 Bessel 矩，不是初等函數。

用兩次分部積分算 ∫₀¹ x²e^(−x) dx：答案是 2 − 5/e ≈ 0.160603

精確值是 2 − 5/e ≈ 0.160603。做兩輪分部積分可以把多項式的次數從 2 降到 0，得到反導函數 −(x²+2x+2)e^(−x)。

用冪次法則算 ∫₀¹ (x² + 3) dx：答案是 10/3 ≈ 3.3333

答案是 10/3，約 3.3333。逐項積分得到 x³/3 + 3x，再套微積分基本定理：在 1 的值是 10/3，在 0 的值是 0。

計算 ∫₀² x² sin x dx：精確值是 4sin 2 − 2cos 2 − 2 ≈ 2.4695

值是 4sin 2 − 2cos 2 − 2，約 2.4695。因為上下限不是 π 的倍數，正弦與餘弦項不會消掉，會一路留在答案裡。

用兩次分部積分算 ∫₀^π x² sin x dx：答案是 π² − 4 ≈ 5.8696

值是 π² − 4，約 5.8696。取 u = x² 做分部積分可以把次方降到 x，再做一次就收尾；正弦項在兩個端點都會消失。

用奇偶對稱與半圓面積算定積分

這個積分剛好等於 π。x³ cos(x/2) 那一項是奇函數，積出來是 0，剩下的部分則是半徑 2 的圓面積的一半。

用 Lambert W 函數解 f′(x) = f(x − 1)：指數解是 Ce^(rx)，其中 r = W(1) ≈ 0.567143

指數形式的解是 f(x) = Ce^(rx)，其中 r e^r = 1，也就是 r = W(1) ≈ 0.567143。單位延遲使得特徵方程式變成超越方程式。

x³ − 3x² + 2x 的導函數與 [0, 3] 上的定積分

導函數是 3x² − 6x + 2，從 0 到 3 的積分等於 9/4。先用乘冪法則微分，再用微積分基本定理算出有向面積。

求 y = 2cos(x) 的定義域與導數：定義域是全體實數，y′ = −2sin(x)

定義域是全體實數，導數是 y′ = −2sin(x)。常數 2 微分時原封不動地留著，而餘弦微分之後會變成負的正弦。

求 10x³ − x² + 4x − 15 的導數：y′ = 30x² − 2x + 4，且 y′ = 0 無實根

y′ = 30x² − 2x + 4。解 y′ = 0 即解 30x² − 2x + 4 = 0，同除以 2 後判別式為 1 − 120 = −119 < 0，沒有實根，所以這條三次曲線處處沒有水平切線，函數嚴格遞增。

求 2e³ˣ 的導數：連鎖律補上內導數 3，答案為 6e³ˣ

導數是 6e³ˣ。指數函數微分後仍然是自己，連鎖律再貢獻內層 3x 的導數 3，常數 2 則原封不動地乘在前面，所以結果為 2 × 3 × e³ˣ = 6e³ˣ。

用導數定義證明 2x³ − 1 的導數是 6x²

答案是 6x²。展開 (x+h)³ 之後常數項與 2x³ 相消，除以 h 只剩 6x² + 6xh + 2h²，令 h 趨近 0 即得 6x²，和冪次法則的結果一致。

微分 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³：正確答案是選項 (B)

導數為 10(2x+1)⁴(x²−1)³ + 6x(2x+1)⁵(x²−1)²，也就是選項 (B)。關鍵是乘法律再配上兩次連鎖律，內導數分別為 2 與 2x，漏掉它們就會誤選 (A)。

微分 (2x + 1)⁵(x² − 1)³：答案為 2(2x+1)⁴(x²−1)²(11x² + 3x − 5)

導數是 h′(x) = 2(2x + 1)⁴(x² − 1)²(11x² + 3x − 5)。先用乘法律，再對兩個冪次各用一次連鎖律，最後提出公因式 (2x + 1)⁴(x² − 1)² 並化簡中括號。

微分 3sin(4x³+5)·√(5(4x+5/x))：乘法律配上兩次連鎖律

y′ = 36x²cos(4x³+5)√(5(4x+5/x)) 加上 3sin(4x³+5)(20 − 25/x²) 除以 2√(5(4x+5/x))。作法是對兩個合成因式各用一次連鎖律，再用乘法律把結果組合起來。

微分 y = 5cos(3x²)：連鎖律給出 dy/dx = −30x sin(3x²)

答案是 dy/dx = −30x sin(3x²)。外層餘弦貢獻同一個內層的 −sin，內層 3x² 再貢獻因子 6x，與前面的常數 5 相乘後合併成係數 −30。

微分 e^x ln(x²+1)/(√(sin x) + 2)：除法律搭配乘法律與連鎖律

用除法律，分子再用乘法律。分子的導數是 e^x(ln(x²+1) + 2x/(x²+1))，分母的導數是 cos x/(2√(sin x))，最後把兩項共同的 e^x 提出來即可化簡。

微分 y = arcsin(x⁴)：答案是 4x³/√(1 − x⁸)

導數是 4x³/√(1 − x⁸)。反正弦的公式貢獻 1/√(1 − u²)，其中 u = x⁴；連鎖律再貢獻 4x³，而 (x⁴)² 化簡成 x⁸，不是 x¹⁶。

求 arctan(e^(−a/2)) 的導數：化簡後為 −e^(a/2)/(2(e^a + 1))

答案是 dy/da = −e^(−a/2)/(2(1 + e^(−a)))，也可以寫成 −e^(a/2)/(2(e^a + 1))。關鍵在於 e^(−a/2) 平方後變成 e^(−a)，分母才會塌縮成這麼乾淨的形式。

求 cos(√(2x+1)) 的導數：−sin(√(2x+1))/√(2x+1)，且需 x > −1/2

導數是 −sin(√(2x+1))/√(2x+1)，成立範圍為 x > −1/2。連鎖律要用兩次，而內層 2x+1 貢獻的因子 2 恰好抵掉冪次法則的 1/2。

求 e^(−x²)sin(3x) 的導數：f′ = e^(−x²)(3cos3x − 2x sin3x)

f′ = e^(−x²)(3cos3x − 2x sin3x)，f″ = e^(−x²)((4x² − 11)sin3x − 12x cos3x)。作法是連續用兩次乘法律，連鎖律分別提供內導數 −2x 與 3。

不用除法律微分 (e^x + 1)/x³：答案是 (e^x(x − 3) − 3)/x⁴

答案是 (e^x(x − 3) − 3)/x⁴。把分式改寫成 (e^x + 1)x 的 −3 次方，原本要用除法律的題目就變成較短的乘法律題目，最後通分到 x⁴ 即可。

微分 ln(1 + x/(eπ))：化簡之後就是 1/(x + eπ)

導數是 1/(x + eπ)。連鎖律給出 1/(eπ) 除以 (1 + x/(eπ))，把分子分母同乘 eπ 就能清掉繁分數，那個常數只是把分母平移。

微分 ln(3x²)：為什麼答案就只是 2/x

導數是 2/x。連鎖律給出 6x/(3x²)，常數 3 被約掉，這與對數律的預測完全一致，因為 ln(3x²) = ln 3 + 2 ln x，而常數微分後為零。

微分 ln(x + √(x² − a²))：答案是 1/√(x² − a²)

導數是 1/√(x² − a²)。連鎖律算出的分子可整理成 (√(x² − a²) + x)/√(x² − a²)，括號恰好與對數的引數相消，這就是反雙曲餘弦的導數。

微分 y = log(sin x)：連鎖律化簡之後得到 cot x

y = log(sin x) 的導數是 cot x。對內層函數 sin x 套連鎖律，再把 cos x 除以 sin x 併成單一的餘切函數，成立範圍是 sin x > 0 的那些區間。

微分 y = −(1/2)sin(3.14/3 − x²)：答案是 y′ = x·cos(3.14/3 − x²)

答案是 y′ = x cos(3.14/3 − x²)，定義域為全體實數。內導數是 −2x，兩個負號互相抵消，1/2 又與 2 對消，所以 x 前面的係數恰好是 1。

用冪次法則微分 (1/4)x¹² + 3x⁶ − x + 10：y′ = 3x¹¹ + 18x⁵ − 1

y′ = 3x¹¹ + 18x⁵ − 1。分數係數 1/4 要乘上指數 12 才得到 3，而常數項 10 微分後為零，對導數毫無貢獻，整體次數也從 12 降為 11。

用冪次法則微分 (1/10)x⁵ + x⁴ + 3x − √3：y′ = (1/2)x⁴ + 4x³ + 3

y′ = (1/2)x⁴ + 4x³ + 3。領導係數會變成 5/10 = 1/2，而不是 2；無理常數 √3 和其他常數一樣，微分之後就是零，不留任何痕跡。

微分 y = sin²x：連鎖律給出 2 sin x cos x，也就是 sin 2x

導數是 2 sin x cos x，用二倍角公式可以改寫成 sin 2x。關鍵在於把 sin²x 讀成 (sin x)²，外層函數是平方，而不是正弦裡面放 x²。

微分 f(t) = t·sin(3t)：答案是 sin(3t) + 3t·cos(3t)

導數是 f′(t) = sin(3t) + 3t cos(3t)。乘法律把工作拆成兩塊，連鎖律再從內層函數 3t 補上因子 3，漏掉這個 3 是最常見的錯誤。

求 1/0.3 的導數：常數函數的導數為什麼是 0

導數是 0。式子 1/0.3 = 10/3 裡沒有任何變數，所以它是常數函數，圖形是一條水平線，處處斜率為零；若改成 1/(0.3x) 結果就完全不同了。

已知 f(3) = 5、f′(3) = 2，求反函數的 g′(5)：答案是 1/2

g′(5) = 1/2。對 f(g(x)) = x 用連鎖律微分可得 g′(x) = 1/f′(g(x))；再由 f(3) = 5 知道 g(5) = 3，所以答案就是 f′(3) = 2 的倒數。

用乘法律微分 f(x) = x·cos(x + 3) + 7：答案是 cos(x+3) − x sin(x+3)

導數是 cos(x+3) − x sin(x+3)。常數 7 微分之後消失，而 x+3 的內導數是 1，所以連鎖律不會多出任何額外的因子。

用冪次法則逐項微分 x³ − 3x² + 2x：答案是 3x² − 6x + 2

導數是 3x² − 6x + 2。冪次法則把每個指數搬到前面當係數，再把指數減一，所以 x³ → 3x²、−3x² → −6x、2x → 2。

用冪次法則微分 x³ + 2x² − 5x：答案是 3x² + 4x − 5

導數是 3x² + 4x − 5。逐項套用冪次法則，常數倍原封不動地保留，而一次項微分後就等於它自己的係數，常數項則會變成 0。

用對數微分法求 (x − 1)^x 的導函數

導函數是 (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)]，其中 x > 1。乘冪法則與指數法則都不適用，所以要先對兩邊取自然對數。

用除法律微分 f(x) = x/(x² + 1)：答案是 (1 − x²)/(x² + 1)²

答案是 (1 − x²)/(x² + 1)²。分子由 (x²+1) − 2x² 塌縮成 1 − x²，所以導數恰好在 x = 1 與 x = −1 變號，對應到極大值與極小值。

用除法律微分 y = x²/tan x：答案是 (2x tan x − x² sec²x)/tan²x

導數是 (2x tan x − x² sec²x)/tan²x。用除法律並代入 tan x 的導數 sec²x，再改寫成正弦餘弦的形式 (2x sin x cos x − x²)/sin²x 會更好算。

逐項微分 x²/2 + cos 5x：答案是 x − 5 sin 5x

f(x) = x²/2 + cos 5x 的導數是 x − 5 sin 5x。二次項給出 x，而連鎖律作用在 cos 5x 上會拉出因子 5，同時把餘弦換成帶負號的正弦。

用冪次法則求 x² 的導數：為什麼答案是 2x

答案是 2x。冪次法則 d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹ 取 n = 2 得到 2x¹，用極限定義也能確認 —— 展開之後真正留下來的正是 2xh 這個交叉項。

化簡 f(x) = 2x² − 3x + 4 的差商：答案是 4x + 2h − 3

化簡後的差商是 4x + 2h − 3。展開 2(x + h)² 會產生 4xh 與 2h² 兩項，連同 −3h 一起提出公因式 h，恰好與分母約掉。

f(x) = 8 − 11x 的差商就是 −11，一個 h 也沒剩下

差商是 −11，沒有留下任何 h。所有的 h 都被約掉，因為一次函數的斜率是常數，這也讓它成為檢驗代數運算是否正確的好例子。

Σ xⁿ⁻¹/n 在 x = 1 與 x = −1 可微嗎：x = −1 處導數為 ln 2 − 1/2

在 x = 1 級數是調和級數而發散，可微與否無從談起。在 x = −1 級數收斂到 ln 2，而且單側導數確實存在，等於 ln 2 − 1/2 ≈ 0.1931472。

中心在原點的雙曲線族的微分方程

從 x²/a² − y²/b² = 1 消去 a 與 b 得到 xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0。微分兩次，再把兩個關係式相除，一次消掉兩個常數。

用冪次法則微分 8x⁵ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9：dy/dx = 40x⁴ + 12/x⁵ − 4/x²

dy/dx = 40x⁴ + 12/x⁵ − 4/x²。先把每一項都寫成 x 的冪次，冪次法則才能一致地套用，而兩個負指數會各自帶來一次變號。

逐項微分 8x⁶ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9：dy/dx = 48x⁵ + 12/x⁵ − 4/x²

dy/dx = 48x⁵ + 12/x⁵ − 4/x²。把 4/x 改寫成 x 的負一次方之後，冪次法則就能處理每一項，而兩個負指數會在過程中各帶來一次變號。

微分 e^(2x)·artanh(√(e^x − 1))：乘法律加上兩層連鎖律

導數是 2e^(2x)artanh(√(e^x−1)) + e^(3x)/(2√(e^x−1)(2−e^x))。注意 1 − z² 恰好塌縮成 2 − e^x，這同時也決定了定義域是 0 ≤ x < ln 2。

微分 y = e^x/(e^x + e^(−x))²：化簡後為 (3 − e^(2x))/(e^x + e^(−x))³

答案是 (3 − e^(2x))/(e^x + e^(−x))³。把分母當成負指數處理，除法律就變成比較乾淨的乘法律加連鎖律計算，最後提出公因式即可化簡。

用冪次法則微分 y = x²：dy/dx = 2x

dy/dx = 2x。冪次法則說 xⁿ 的導數是 n·xⁿ⁻¹，取 n = 2 時舊的指數變成係數，新的指數則降為 1，用極限定義也能得到同樣的結果。

由速度 v(t) = t² + t 求 1 ≤ t ≤ 2 的位移：23/6 公尺

把 v(t) = t² + t 從 t = 1 積到 t = 2，得到位移 23/6 公尺，約 3.83 公尺；速度在這段區間內不變號，所以位移恰好等於總路徑長。

每個 f′(ξ) 都是弦的斜率嗎？不是 —— arctan x 就是反例

取 f = arctan，f′(0) = 1 是 f′ 的嚴格最大值。每條弦的斜率都是 f′ 在某個區間上的平均值，因此嚴格小於 1，所以 1 這個值永遠不會被弦的斜率取到。

計算單位正方形上 1/(x+y+2) 的二重積分：10 ln 2 − 6 ln 3

答案是 10 ln 2 − 6 ln 3 = ln(1024/729) ≈ 0.3397980736。先對 x 積分得到 ln(y+3) − ln(y+2)，再對每個對數用反導函數 (y+a)ln(y+a) − (y+a)。

計算 14.1 − 11.515y 在楔形區域上的二重積分：約 −33.0784

答案約為 −33.0784。被積函數不含 x，所以內層積分就只是寬度 y/1.1015，而在 y 屬於 [−1.65, 0] 時它是負的，這正是結果為負值的原因。

計算 4 − y 在三角形 x=4、y=−2、y=x 上的二重積分：答案是 72

積分值是 72。三條直線交於 (−2,−2)、(4,−2) 與 (4,4)，所以先讓 y 從 −2 積到 x，再讓 x 從 −2 積到 4，恰好蓋滿整個三角形。

計算 2 − 2x − 2y 在區域 x ≤ y ≤ 3 上的二重積分：答案是 −8

答案是 −8。內層上下限從 y = x 到 y = 3，內層積分留下 3x² − 8x − 3，再在 1 ≤ x ≤ 2 上積分就得到 −8；被積函數在區域上處處為負，所以答案理應為負。

用分割法計算 |xy − 1/4| 在單位正方形上的積分：3/32 + ln2/8

答案是 3/32 + ln(2)/8 ≈ 0.180393。雙曲線 xy = 1/4 把正方形切成兩塊，而 1/(16x) 這一項正是最終答案裡出現對數的來源。

用極座標計算 e^−(x²+y²) 在單位圓盤上的二重積分：π(1 − 1/e)

答案是 π(1 − 1/e) ≈ 1.9858。換成極座標後被積函數變成 e^(−r²)·r，即使 e^(−x²) 沒有初等反導函數，對 r 的反導函數仍然寫得出來。

用誤差函數算 exp(−x² − y²) 在單位正方形上的二重積分：(π/4)erf(1)²

精確值是 (π/4)erf(1)² ≈ 0.55775。被積函數可以因式分解，所以正方形上的二重積分就變成單一個高斯積分的平方，完全不需要初等反導函數。

sin x − cos y 在正方形 [0, 2π]² 上的二重積分等於 0

積分值是 0。正方形的邊長 2π 恰好是一個完整週期，所以 ∫sin x dx 與 ∫cos y dy 都是零，可分離被積函數的兩項各自貢獻 2π 乘以零。

計算 sin(x²) + cos(y²) 在單位正方形上的二重積分：約 1.2148

積分值是兩個菲涅耳積分的和，約為 1.2148。兩塊都沒有初等反導函數，但整個和可以拆成兩個單變數積分，再用數值方法求值。

計算 max(√(2x − x²), 1 − y) 在單位正方形上的二重積分：5/6

積分值是 5/6。代換 u = 1 − x、v = 1 − y 把 max 變成 max(√(1 − u²), v)，正方形就沿著一條四分之一圓被分成兩塊，各自積分再相加。

計算 x cos(x + y) 在直角三角形上的二重積分：答案是 −3π/2

答案是 −3π/2 ≈ −4.712389。先對 y 從 0 積到 x 得到 x(sin 2x − sin x)，再在 [0, π] 上分部積分，兩個積分分別是 −π/2 與 π。

計算 x·e^(−y²) 在兩條根號曲線之間的二重積分：答案是 5/144

積分值是 5/144。內層對 x 積分把 x = √y/3 與 x = √y/2 兩條曲線化成因子 5y/72，再用 y·e^(−y²) 從 0 積到無窮等於 1/2 就完成了計算。

(x − 4y) 在 [−1,1]×[0,2] 上的二重積分等於 −16：x 那一項自動消失

積分值是 −16。因為 [−1,1] 對 0 對稱，x 在其上的積分為零，只剩下 −8y 從 0 積到 2；交換積分順序後也會得到同樣的答案。

(x − 4y) 在 [−1,2]×[0,1] 上的二重積分等於 −9/2，兩種順序皆同

積分值是 −9/2。先對 x 積分留下 3/2 − 12y，再對 y 積分得到 −4.5；由富比尼定理，交換積分順序也會得到完全相同的結果。

(x/8)(x² + xy) 在 [0,2]² 上的二重積分等於 5/3

積分值為 5/3。先把 x/8 乘進括號，讓被積函數化成單項式之和，再依序對 y、x 積分；常數 1/8 恰好讓它成為正方形上的聯合機率密度積分。

圓楔形區域的二重積分換序：結果為 1 − √2/2 ≈ 0.292893

答案是 1 − √2/2 ≈ 0.292893。換序後區域必須拆成兩塊 y 切片，內層用代換 u = x² + y² 得到 √(x² + y²)；改用極座標可以一行驗證同一個值。

y = x 與 2y = x² 之間 x/(x² + y²) 的二重積分等於 ln 2

積分等於 ln 2 ≈ 0.693147。先對 y 積分得到反正切，代入上下限後化成 arctan 1 減去 arctan(x/2)，再用一次分部積分就收尾了。

圓環扇形上 x + 2y 的二重積分：(7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834

值為 (7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834。改用極座標後，把 x ≤ 0 與 y ≥ x 兩個條件取交集得到 π/2 到 5π/4 的楔形，再分別算徑向的 r² 與角度部分。

兩段圓弧之間 x + xy 的二重積分：π/6 − √3/8 + 5/48

答案為 π/6 − √3/8 + 5/48 ≈ 0.411259。先把被積函數因式分解成 x(1 + y)，對 x 積分得到 √(1 − y²) − 1/2，再用反正弦的標準原函數收尾。

笛卡兒葉形線環內的二重積分：4π/√3 − 3π/2 ≈ 2.5428

值為 4π/√3 − 3π/2 ≈ 2.5428。化成極座標後 r 恰好互相抵消，只剩下一個 θ 積分，再用立方和公式約分，最後以半角代換完成。

x² − 8y 在矩形 [−2,−1] × [0,1] 上的二重積分等於 −5/3

答案是 −5/3。被積函數可拆成 x² 與 −8y 兩項，各自在矩形上分離成一維積分的乘積，得到 7/3 − 4 = −5/3。

y = x² 與 y = 2 − x 之間 x² + y² 的二重積分：149/105

積分等於 149/105 ≈ 1.4190。在 0 ≤ x ≤ 1 上拋物線恆在直線下方，所以先對 y 積分能讓上下限保持簡單，不必把區域切開。

單位正方形上 x² + y² 的二重積分等於 2/3

答案是 2/3。由對稱性可知兩項的貢獻相同，各為 1/3，所以在 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的積分是 2/3。

用變數代換算 [0, π]² 上 xy·sin(xy²) 的二重積分

值為 π/2 − sin(π³)/(2π²) ≈ 1.59097。內層積分是漂亮的變數代換：令 u = xy²，xy dy 恰好等於 du/2，sin(xy²) 就化成餘弦。

矩形上 xy·e^(x²y) 的二重積分：5π/4 + 1/8 − e^(10π)/8

答案是 5π/4 + 1/8 − e^(10π)/8 ≈ −5.5039×10¹²。代換 u = x²y 把內層對 x 的積分化成 (1 − e^(4y))/2，外層積分則是基本運算。

y = x² 與 y = 1 之間 y 的二重積分等於 4/5

答案是 4/5。在 −1 ≤ x ≤ 1 上鉛直切片從 y = x² 走到 y = 1，內層積分得 (1 − x⁴)/2，外層積分得 4/5；形心高度 0.6 可作驗證。

靠奇函數對稱性，正方形上的這個二重積分等於 0

答案是 0。被積函數可以分離，其中含 x 的因子 x/√(R² − x²) 在對稱區間 [−R, R] 上是奇函數；兩半各自收斂到 R 與 −R，所以總和恰好為零。

x² − 8y 在矩形區域上的二重積分

計算 x 平方減 8y 在矩形 −2 ≤ x ≤ −1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。上下限都是常數，逐步做疊積分即可。

xy² 在 y = 2 sin x 下方區域的二重積分

二重積分等於 16π/9 ≈ 5.585。先對 y 積得到 (8/3)x sin³x，再用三倍角公式把 sin³x 降次，最後用分部積分。

x·cos(x + y) 在三角形區域上的二重積分

計算 x cos(x + y) 在頂點為 (0,0)、(π,0)、(π,π) 的三角形上的二重積分。上下限取 0 ≤ y ≤ x，精確答案是 −3π/2 ≈ −4.712。

兩條拋物線之間區域的二重積分

計算 9y + 4x 在 y = 4x² − 9 與 y = 9 − 4x² 所圍區域上的二重積分。先求出上下限，再用對稱性一眼看出答案。

含絕對值與符號上限的二重積分：sin²x/128 + (1 − cos x)/72

當 0 ≤ x ≤ π/2 時答案為 sin²x/128 + (1 − cos x)/72。先把絕對值內的式子因式分解成 r² sinθ(r cosθ + 1/3)，看出它非負，就能把絕對值拿掉。

含 tan²(0.661) 的第二類完全橢圓積分：約等於 1.7865

值約為 1.7865。根號裡是加號，代表模數為純虛數，所以要用參數為負的 E(k) 來表示，再以數值方法求值。

含 tan²(0.8) sin²β 的橢圓積分：值約為 1.928009

值約為 1.928009。這個積分就是參數為負的第二類完全橢圓積分 E(m)，其中 m = −tan²(0.8) ≈ −1.06016。

分母次數較高的有理函數末端行為：兩端都趨近 0

兩端都趨近 0，因為分母次數是 6 而分子只有 3。這個商的行為像 −1/(2x³)，因此 y = 0 是水平漸近線。

用前幾項求出 Gamma 函數級數的值：約 0.00118532

這個級數約等於 0.00118532：1/Γ(3/5) 乘上 n 從 1 起的 (1/10)^(8n/5+1)/Γ(8n/5+1) 之和。只有前三項有份量，其餘都小於 10⁻¹⁰。

用直接代入法求五個極限：25、300、153、729、41

五個值依序是 25、300、153、729 與 41。這裡每個函數在目標點都連續，所以極限就等於函數值，完全不必做代數變形。

解 (x+y+1)dx + (2x+2y+5)dy = 0：通解為 x + 2y − 3ln|x+y+4| = C

通解為 x + 2y − 3ln|x + y + 4| = C。這個方程式並非正合，但兩個係數都只依賴 x + y，所以代換 u = x + y 就能把變數分離開來。

由 800 隻兔子出發解 dP/dt = 0.12P：5 年後 1458 隻，倍增 5.78 年

分離變數可得 P = 800e^(0.12t)。t = 5 時為 800e^0.6 = 1458 隻兔子，而倍增時間 ln2/0.12 = 5.78 年與初始族群大小無關。

把 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² 分解成平方差：(y′−2x²−x)(y′−2x²+x)

它分解為 (y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x)，因為前三項恰好配成完全平方 (y′ − 2x²)²。接著兩個因式各自積分，就得到兩族解。

求 a 與 b 使三段分段函數連續：a = 17/175、b = 1/25

答案是 a = 17/175 與 b = 1/25。在 x = −2 處銜接得到 b = 21a − 2，在 x = 1 處銜接得到 7a + 8b = 1，解這組聯立方程式即可定出兩者。

求 a、b、c 使分段函數連續

答案：a = 2、b = 3、c = 4。要讓極限有限，分子必須在 x = 1 為零；約分後極限為 3，左側的 −x + c 也必須等於它。

求 a 使 x = 0 處的左右極限相等：a = e − 1/e

只有在 a = e − 1/e 時極限才存在。含 e^(1/x) 的那個因子從右側趨近 1、從左側趨近 2，而 (1 + |x|)^(1/x) 分別趨近 e 與 1/e。

求 y′ + y/x = 18x + 4 解中的 k、h、s：分別是 6、2、1

k = 6、h = 2、s = 1。積分因子 x 把方程式化成 (xy)′ = 18x² + 4x，於是 xy = 6x³ + 2x² + C，整理後就是 6x² + 2x − y + C/x = 0。

用積分因子解 dy/dx + 2y = e^(−x)

通解是 y = e^(−x) + Ce^(−2x)。整式乘上積分因子 e^(2x)，把左邊看成乘積律的反向，積分一次再除回去即可。

把 2xy(y′)² + 2(x²+y²)y′ + 2xy = 0 當二次式解：xy = C₁ 或 x²+y² = C₂

把 y′ 當成未知數，判別式恰好是完全平方 (x² − y²)²，於是 y′ = −y/x 或 y′ = −x/y，分別積出 xy = C₁ 與 x² + y² = C₂ 兩族解。

用高斯散度定理求下半球面內側的通量：答案為 8π

這個曲面積分等於 8π。先用 z = 0 的圓盤把開曲面補成封閉曲面，套用散度定理，再扣掉圓盤的通量，最後為了內側取向翻轉正負號。

R³ 上含 cos、sin 與 r² 項的高斯型三重積分：sin 項為 0

正弦項因奇對稱而消失，餘弦項是三維高斯函數的傅立葉轉換，r² 項則是一個 Gamma 積分，最後只剩兩塊乾淨的封閉形式。

依 b/a 的正負解 ay″ + by = 0：振盪、實指數或直線

若 b/a > 0，解為振盪的 C₁cos(√(b/a)x) + C₂sin(√(b/a)x)；若 b/a < 0，是一對實指數函數；若 b = 0，則是直線 C₁x + C₂。

x″ + kx = 0 在 k 各種正負情形下的通解

答案依 k 的正負分成三種：k > 0 得到 √k t 的餘弦與正弦，k = 0 得到直線 C₁t + C₂，k < 0 則得到成長與衰減的指數函數。

解 y″ − ay′ + by = 0：依判別式 a² − 4b 分成三種情形

特徵方程式是 r² − ar + b = 0。判別式 a² − 4b 把答案分成三種：相異的實指數、帶 x 因子的重根解，以及阻尼振盪。

梯度與沿方向 (0,−1) 的方向導數

對 f = x²y + x e^(−xy)，沿方向 (0, −1) 的方向導數是 −x²(1 − e^(−xy))——它剛好就是對 y 的偏導數取負號。

f = 3x⁴yz³ 沿 i、j、k 的梯度分量：⟨12x³yz³, 3x⁴z³, 9x⁴yz²⟩

梯度是 ⟨12x³yz³, 3x⁴z³, 9x⁴yz²⟩。每個分量就是一個偏導數，把另外兩個變數凍結之後，冪次法則便退化成單變數的微分。

三項一組的級數收斂且 aₙ → 0，則 Σaₙ 收斂——敘述成立

分組後的和正是部分和的子數列 S₃ₙ。由於 aₙ 趨近 0，S₃ₙ₊₁ 與 S₃ₙ₊₂ 也趨向同一個極限，所以整個部分和數列收斂。

x³ + x²y + y³ = 7 的隱函數微分：dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²)

dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²)。逐項對 x 微分，x²y 用乘積律、y³ 用連鎖律，最後把 dy/dx 解出來即可。

隱函數微分求 x sec y = 4y − y tan 2x 的 dy/dx

答案是 dy/dx = (sec y + 2y sec²2x)/(4 − tan 2x − x sec y tan y)。兩邊都要用乘積律，而連鎖律會在 tan 2x 內部多帶出一個因子 2。

隱函數微分求 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶ 的 dy/dx

dy/dx = (−180x⁵ − 400x¹⁹y)/(20x²⁰ + 8y⁷)。20x²⁰y 這一項要用乘積律，而每次微分到 y 都會帶出一個 dy/dx 因子。

1/(2 + 2x²)² 在整條實數線上的瑕積分等於 π/8

值是 π/8 ≈ 0.3926991。先把 4 提出來，剩下的正是標準積分 1/(1 + x²)² 的四分之一，而後者在整條實數線上等於 π/2。

1/(x + √(x²−1))² 從 1 積到無窮大等於 1/3

值是 1/3。代換 x = cosh t 把 x + √(x² − 1) 化成 e^t；下限必須是 1 而不是 0，否則被積函數根本不是實數。

計算 ln x 從 0 到 1 的瑕積分：答案是 −1

答案是 −1。分部積分給出原函數 x ln x − x，而 0 這一端則靠 a → 0⁺ 時 a ln a → 0 的極限來處理。

證明 1/(3√((x−8)²)) 的瑕積分發散到正無窮大

從負無窮大到 0 的 1/(3√((x − 8)²)) 積分發散到正無窮大。先把根號寫成 8 − x，積出對數，再取極限就看得出來。

x·e^(−x²) 從 0 到無窮大的瑕積分等於 1/2

值恰好是 1/2。代換 u = x² 把被積函數化成 (1/2)e^(−u)，而上限增大時 e^(−b²) 會消失，所以積分收斂。

計算 x^(−2/3) 從 −1 到 1 的瑕積分：答案是 6

值是 6。被積函數在 x = 0 處發散，所以積分必須在該點拆開，但每一半都收斂到 3，因為原函數 3x^(1/3) 始終保持有限。

積分 1/(a − bx)：答案是 −(1/b)ln|a − bx| + C

答案是 −(1/b)ln|a − bx| + C。代換 u = a − bx 時 du = −b dx，所以內層斜率的倒數（連同負號）會被提到最前面。

積分 2/x − 1/x²：兩個不同的冪次法則情形

答案是 2ln|x| + 1/x + C。指數 −1 得用對數，而 −2 走的是一般的冪次法則，所以這兩項的行為相當不同。

積分 3/x − 2/x²：對數與冪次法則同場登台

答案是 3ln|x| + 2/x + C。x^(−1) 那一項要用對數這個例外，x^(−2) 則走一般冪次法則，而負負得正讓結果是加號。

e^x/x 為什麼沒有初等原函數：答案是 Ei(x) + C

答案是指數積分 Ei(x) + C。沒有任何初等函數的有限組合微分後會得到 e^x/x，所以這裡真的必須動用特殊函數。

用代換 u = −x² 積分 x·e^(−x²)：得 −(1/2)e^(−x²) + C

原函數是 −(1/2)e^(−x²) + C。外面那個 x 因子恰好是 du 的一半，這正是這個代換能完美收尾的原因。

乘積 ∏(1 + x/n²) 收斂，且其對數的成長率為 π

用 1/n² 的級數做比較審斂可知這個乘積對每個 x > 0 都收斂；而乘積的對數除以 √x 趨近 π，尤拉的 sinh 乘積公式讓這件事變得精確。

使 (mx−4)/(x−m) 在 (0,∞) 遞增的整數 m 有幾個

求讓 f(x)=(mx−4)/(x−m) 在 (0,+∞) 上遞增的整數 m 個數。商的微分法得 f′=(4−m²)/(x−m)²，需 −2<m<2；再要求垂直漸近線 x=m 不落在區間內，故 m≤0，答案為 m=−1、0 共 2 個。

不用三角代換積分 (1 − u²)/(a − bu²)^(3/2)：得有理項加 arcsin 項

答案是 (b − a)u/(ab√(a − bu²)) + arcsin(u√(b/a))/(b√b) + C。把 u² 改寫成 (a − (a − bu²))/b，就能把積分拆成兩個標準形式。

用雙曲代換積分 1/(√x·√(x+1))：得 2 arsinh√x + C

答案是 2 arsinh(√x) + C，等價於 2 ln(√x + √(x+1)) + C。代換 x = sinh²(t) 可以一口氣讓兩個根號都變成有理式。

積分 1/x：為什麼答案是 ln|x| + C 而不是 ln x + C

原函數是 ln|x| + C。少了絕對值，這條公式在 x < 0 時就沒有定義，可是 1/x 在那裡表現得好好的、完全可積。

用倒數代換 x − 1 = 1/t 求 ∫dx/((x−1)√(−x²+2x+3))

代換 x − 1 = 1/t 把根號化成 √(4 − 1/t²)，積分就變成標準的反雙曲型，最後得到 −(1/2)ln|(2 + √(−x²+2x+3))/(x − 1)| + C。

用負指數的冪次法則積分 1/x² − 1/(3√x)：得 −1/x − (2/3)√x + C

原函數是 −1/x − (2/3)√x + C。先把兩項都寫成冪次 x^(−2) 與 (1/3)x^(−1/2)，再各自把指數加一並除以新指數即可。

求 (1 + tan²y) dy 的不定積分：答案是 tan y + C

答案是 tan y + C。畢氏恆等式把 1 + tan²y 化成 sec²y，而它正好是正切函數的導數，所以幾乎不必真的動手算。

拆分式積分 2/(1 − x²)：得 ln|(1 + x)/(1 − x)| + C

原函數是 ln|(1 + x)/(1 − x)| + C。因為 1 − x² = (1 − x)(1 + x)，被積函數拆成 1/(1 − x) + 1/(1 + x)，兩個對數最後再合併。

∫2ˣ(2ˣ+4)⁵ dx 的答案是 (2ˣ+4)⁶/(6 ln2) + C：變數代換

答案是 (2ˣ + 4)⁶ / (6 ln2) + C。因為 d(2ˣ) = 2ˣ ln2 dx，括號外那個因子 2ˣ 正好就是所需的導數，只差一個常數 ln2；底數是 2 不是 e，這個 ln2 絕對不能丟。

25x 的 3/2 次方積分：答案是 10x 的 5/2 次方 + C

答案是 10x 的 5/2 次方加 C。先把常數 25 提到積分符號外，再用冪次法則把指數加 1 得到 5/2；除以 5/2 等於乘以 2/5，於是 25 × 2/5 = 10，最後求導驗證回到 25x 的 3/2 次方。

∫(4e^(2x) − sin 2x) dx = 2e^(2x) + (1/2)cos 2x + C

答案是 2e^(2x) + (1/2)cos 2x + C。內層係數 2 要拿去除結果；而 sin 2x 前面的負號與積分公式自帶的負號相乘，讓餘弦項變成正號。

arctan x / cosh x 從 0 積到無窮大：值約為 1.0986875

積分收斂，值約為 1.0986875，但它沒有初等的封閉形式（也不等於 ln 3，只是數值接近）。做法是把 1/cosh x 展成交錯的指數級數後逐項積分，再用分部積分化成一列輔助積分；級數求和與高斯求積給出同一個數值。

∫cos 2x dx = (1/2)sin 2x + C：那個 1/2 是怎麼來的

答案是 (1/2)sin(2x) + C。求導時連鎖律會額外乘上一個 2，所以反導函數前面必須帶上它的倒數 1/2 來抵消。

∫cos x · sin(5 sin x + 2) dx = −(1/5)cos(5 sin x + 2) + C

結果是 −(1/5)cos(5 sin x + 2) + C。內層函數 5 sin x + 2 的導數 5cos x 現成地擺在外面，令 u = 5 sin x + 2 後整個化為 ∫ sin u du，最後再求導驗算。

e^(iωx) 對 ω 在整條實數線上的積分等於 2πδ(x)

作為普通的瑕積分它發散；作為廣義函數它等於 2πδ(x)。截斷到 ±A 會得到 2sin(Ax)/x，這個函數永遠振盪不停，卻在弱的意義下收斂到 2πδ(x)。

∫e^(−x²) dx = (√π/2)·erf(x) + C：為何非用誤差函數不可

結果是 (√π/2)·erf(x) + C。它沒有初等的反導函數，只能借助 erf 來表示，而 erf 定義裡的 2/√π 在這裡正好被抵消掉。

e^(−x)·x^3.102378 的積分：答案是 γ(4.102378, x) + C

指數 3.102378 不是整數，分部積分永遠降不到零次方，所以不存在初等的反導函數。答案要用下不完全伽瑪函數寫成 γ(4.102378, x) + C，等價形式是 −Γ(4.102378, x) + C。

∫₀¹ (ln x)⁴ln(1−x)/(x(1−x))dx = 12ζ(3)² − 2π⁶/45

積分值是 12ζ(3)² − 2π⁶/45 ≈ −25.389119。先把 1/(x(1−x)) 拆成 1/x + 1/(1−x)，兩半分別用對數級數與調和數的生成函數展開，ζ(6) 項相消之後，全部歸結為一個線性歐拉和的閉式。

積分 ln x 乘 arctan x：用雙對數函數 Li₂ 寫出閉式

兩次分部積分之後剩下 ∫ ln(1 + x²)/x dx，它沒有初等的反導函數，只能用雙對數 Li₂(−x²) 表示。最終閉式由 x ln x arctan x、−(1/2)ln x ln(1 + x²)、−x arctan x 等幾項再加上 −(1/4)Li₂(−x²) 組成。

∫−8cos(0.8t²) dt = −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t) + C₁

答案是 −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t) + C₁，其中 C 是菲涅耳餘弦積分。cos(at²) 沒有初等的反導函數，只能透過代換把括號裡的式子湊成 πu²/2 的標準形式，再化簡前面的係數 8/√8 = 2√2。

1/((x + 1)(ln x)^a) 的積分：用不完全伽瑪函數級數表示

這個積分沒有初等的反導函數。令 u = ln x 並把 1/(1 + e^(−u)) 展成級數，可得 (ln x)^(1−a)/(1 − a) 再加上一列伽瑪函數 Γ(1 − a, n ln x)。

∫ sin²x·cos³x dx = sin³x/3 − sin⁵x/5 + C：奇次方拆一個出來

結果是 sin³x/3 − sin⁵x/5 + C。餘弦是奇次方，拆出一個 cos x 當微分，剩下的 cos²x 用 1 − sin²x 取代，令 u = sin x 之後積分就退化成多項式，最後用辛普森法則數值核對。

∫sin x / sin²(4cos x) dx = (1/4)cot(4cos x) + C

答案是 (1/4)cot(4cos x) + C。內層函數 4cos x 的導數是 −4sin x，而分子裡剛好擺著一個 sin x，所以令 u = 4cos x 代換，化成 −(1/4)∫csc²u du，再用 cot 的導數公式積出來。

當 ∇²f = x² + y² 時，∂f/∂r 在單位圓盤上的積分等於 π/10

積分值是 π/10。被積函數其實是徑向的方向導數，於是對角度 θ 取平均：平均值滿足 (r g′)′ = r³，得 g′ = r³/4，結果與具體取哪一個 f 無關。

∫x³ sin(7x⁴ + 3) dx = −cos(7x⁴ + 3)/28 + C：用變數代換

答案是 −cos(7x⁴ + 3)/28 + C。外面的 x³ 差一個常數就是裡面 7x⁴ + 3 的導數，所以用變數代換即可，完全不必分部積分。

∫ (x−1)/(x²−2x+3)² dx = −1/(2(x²−2x+3)) + C

結果是 −1/(2(x² − 2x + 3)) + C。分母底式的導數是 2(x − 1)，分子恰好是它的一半，直接令 u = x² − 2x + 3 代換一步到位，既不用配方也用不到反正切；求導即可驗證。

∫(x + 3)/(x² − 5x + 6) dx = −5 ln|x − 2| + 6 ln|x − 3| + C

反導函數是 −5 ln|x − 2| + 6 ln|x − 3| + C。先把分母分解成 (x − 2)(x − 3)，拆成兩個簡單分式，再逐項積成對數即可。

∫x²e^(−x²) dx = −(x/2)e^(−x²) + (√π/4)erf(x) + C

結果是 −(x/2)e^(−x²) + (√π/4)erf(x) + C。把 x² 拆成 x 與 xe^(−x²)，後者才有初等的反導函數；分部積分後剩下的高斯積分只能用誤差函數表示，最後求導驗算。

x²eˣ 的不定積分：分部積分兩次得 eˣ(x²−2x+2)

求 ∫x²eˣdx。取 u=x² 讓多項式次數逐次下降，分部積分做兩次得 eˣ(x²−2x+2)+C，再微分驗算，並給出 ∫xⁿeˣdx 的正負交錯通式。

兩次分部積分：∫x² sin x dx = −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C

答案是 −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C。每做一次分部積分，x 的次數就降一次，所以二次多項式恰好要用兩次。

從 0 到 π 的定積分 ∫x(sin 2x − sin x) dx = −3π/2 ≈ −4.712389

結果是 −3π/2 ≈ −4.712389。先按線性拆成兩個積分，各自用分部積分取 u = x，分別得到 −π/2 與 π，相減即可；最後再用符號分析確認結果理應為負。

∫x⁵/√(x²+1) dx = (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + √(x²+1) + C

結果是 (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + (x²+1)^(1/2) + C。x 的次方是奇數，所以拆出一個 x 與 dx 配成 du：令 u = x²+1，則 x dx = du/2，剩下的 x⁴ = (u−1)²，展開後全是 u 的冪函數，逐項積分即可。

∫(x⁴ − 3x² + 5)/x dx = x⁴/4 − 3x²/2 + 5ln|x| + C

分母只是一個單項式，直接逐項相除化成 x³ − 3x + 5/x，再用冪次法則與對數法則積分，得 x⁴/4 − 3x²/2 + 5ln|x| + C。5/x 那一項的對數必須帶絕對值，因為被積函數在 x 為負時同樣有定義。

∫2dy/(−2y) = −ln|y| + C：約分後用倒數的反導函數

結果是 −ln|y| + C。先把 2 與 −2 約成 −1，提出常數後用 ∫(1/y)dy = ln|y| + C；絕對值不能省，因為 y 為負時反導函數是 ln(−y)，而冪次法則在 n = −1 時會除以零。

∫5y^(2/5) dy = (25/7)y^(7/5) + C：分數指數的冪次法則

反導函數是 (25/7)y^(7/5) + C。指數 2/5 加 1 得 7/5，而除以 7/5 就是乘 5/7，於是 5 乘 5/7 等於 25/7。

∫e^(6x) dx = (1/6)e^(6x) + C：那個 1/6 為什麼跑出來

結果是 (1/6)e^(6x) + C。對 e^(6x) 求導會多出內層導數 6，積分就得把它除掉；文中給出通用公式 ∫e^(kx)dx = (1/k)e^(kx) + C，並用代換法與求導兩種方式驗證。

∫(x³ + 6) dx = x⁴/4 + 6x + C：線性性質加冪次法則

答案是 x⁴/4 + 6x + C。先用線性性質把兩項拆開，對 x³ 用冪次法則把指數加 1 得 x⁴/4，常數 6 積成 6x，最後合併成一個任意常數 C，並用求導驗證。

∫(x + 3) dx = x²/2 + 3x + C：和的法則與冪次法則

反導函數是 x²/2 + 3x + C。把積分逐項拆開，對 x 用冪次法則，把 3 看成常數 3x⁰，最後只補上一個積分常數 C。

∫(x² − 13√x) dx = x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C

反導函數是 x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C。先把 x^(2/4) 約成 x^(1/2)，冪次法則才能乾淨地套上去。

冪級數 Σ(−1)ⁿ(1/n − 1/(n+2))xⁿ 的收斂區間是 [−1, 1]

收斂區間是閉區間 [−1, 1]。係數通分為 2/(n(n+2))，比值審斂法給出收斂半徑 R = 1；x = 1 時與 1/n² 比較可得絕對收斂，x = −1 時是可伸縮相消的正項級數，和為 3/2，兩個端點都要單獨判斷。

三個指數項之和的拉氏逆轉換：0.4δ(t−1) + 0.2δ(t−2) + 0.4δ(t−3)

結果是 0.4δ(t−1) + 0.2δ(t−2) + 0.4δ(t−3)。指數後面沒有跟著 F(s)，相當於 F(s) = 1，而 1 的逆轉換是狄拉克 δ 函數；再用第二位移定理把三個脈衝分別搬到 t = 1、2、3 處。

Li₂(x) 在 x = 1 處可微分嗎：連續但不可微分

答案是不可微分。Li₂ 在 1 處有定義也連續，值為 π²/6，但它的導數 −ln(1 − x)/x 在 x 從左側趨近 1 時發散到正無窮大。

雙對數函數 Li₂(x) 在 x = −1 處可微分，且 f′(−1) = ln 2

可微分，且 f′(−1) = ln 2 ≈ 0.693。x = −1 是收斂區間的端點，逐項求導得到的交錯調和級數收斂，再用阿貝爾定理把收斂升級成可微分；而在 x = 1 處同一個級數發散，函數並不可微分。

逐次積分 ∫₀¹∫(y − x) dx dy = π/4 + 1/6 ≈ 0.95206

結果是 π/4 + 1/6 ≈ 0.95206。先對 x 積分，下限 √(1−y²)+1 比上限 y 大，按微積分基本定理照算即可，負號會自動帶出；展開平方後 y²/2 恰好相消，剩下的四塊裡 √(1−y²) 從 0 到 1 的積分就是四分之一單位圓的面積 π/4。

內層 y 積到 √(1−x²)+1 的逐次積分：值是 2/3 + π/4

結果是 2/3 + π/4 ≈ 1.4520648。先算內層積分，化簡後得到 1 − x² + √(1−x²)；再拆成三塊，前兩塊直接積出 1 與 1/3，第三塊正是單位圓第一象限四分之一的面積 π/4，根本不必做三角代換。

直角三角形上 r² 的極座標逐次積分：關鍵在 sec³θ 的公式

結果是 (ab√(a²+b²))/(6(a+b)) + (a³/(6(a+b)))·ln((√(a²+b²)+b)/a)。上限 r = a/cosθ 其實是鉛直線 x = a，積分區域是頂點為 (0,0)、(a,0)、(a,b) 的直角三角形；內層積分給出 sec³θ，必須用分部積分的公式。

拉普拉斯轉換解含狄拉克δ的二階初值問題

用拉普拉斯轉換解 y″−y=4δ(t−2)+t²，y(0)=0、y′(0)=2。脈衝轉成 e^(−2s)，部分分式後逐項反轉換，得 y=2eᵗ−t²−2+4u(t−2)sinh(t−2)。

拉普拉斯轉換解積分微分方程（摺積定理）

解 y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1，y(0) = −1。認出摺積後轉換成代數，(s−1) 約掉，部分分式加配方法，得含 e^(−t/2) 與 √7/2 頻率的阻尼振盪解。

t·e^(2t) 的拉氏轉換 = 1/(s − 2)²，收斂域 s > 2

結果是 1/(s − 2)²，收斂域為 s > 2。由 L{t} = 1/s² 出發，用第一位移定理把 s 換成 s − 2；再用乘 t 求導法則與定義式兩條路交叉驗證，並說明收斂域為何落在極點右側。

左右端點黎曼和（6 個矩形）估 2x²−x−1 的面積

在 [2,5] 上用 6 個矩形的左端點與右端點黎曼和估計 f(x)=2x²−x−1 與 x 軸間的面積。Δx=1/2，得 L₆=55、R₆=74.5，真值 129/2=64.5 剛好夾在中間。

√((36x²−25x+16)/(9x²−4x+1)) 在 x → ∞ 時的極限是 2

極限是 2。把根號裡的分子、分母同除以 x²，各個低次項都趨於 0，比值趨於 36/9 = 4，最後再開一次方就得到 2。

x → −∞ 時級數 Σ xⁿ/(n·n!) 的極限是負無窮大

極限是負無窮大。級數逐項求導得到 (e^x − 1)/x，於是這個和其實是一個積分，其行為像 −ln|x|，無界地往下走。

極限 (x²−1)tan(2x−2)/sin²(x−1) 在 x → 1 時等於 4

極限等於 4。令 u = x − 1 把問題平移到 0 附近，拆成 tan(2u)/(2u) 與 (u/sin u)² 兩個標準極限，剩下 2(u + 2) → 4；這是 0/0 型，直接代入沒有意義，必須先化簡。

(e^x + x)^(1/x) 在 x → 0 處的極限等於 e²

極限是 e²。它屬於 1 的無窮次方型未定型，取對數後 (1/x)ln(e^x + x) 變成 0/0，用羅必達法則得 2，所以答案是 e²。

x → ∞ 時 (1 − cos 2x)/(2x) 的極限是 0：用夾擠定理

極限是 0。分子 1 − cos 2x 一直在 0 與 2 之間振盪，本身沒有極限，但它是有界的；除以趨於無窮大的 2x 之後被 0 與 1/x 夾住，由夾擠定理得 0。

x → 0 時 (1 − cos x)/(1 − e^x) 的極限是 0，不是 1

極限是 0。分子以 x²/2 的量級趨於零，分母卻只以 −x 的量級趨於零，所以整個商的行為像 −x/2，從兩側都趨向 0。

x → 1 時 (1 − x)/(√(5 − x²) − 2) 的極限是 2

極限是 2。這一次根號落在分母上，所以要乘上分母的共軛式，再用 1 − x² = (1−x)(1+x) 約掉公因式。

x → −∞ 時 1/x² 的極限是 0，而且是從上方趨近

極限是 0，而且是從上方趨近的。偶次方把符號抹掉了，不管 x 往哪一邊跑，x² 都趨於正無窮大；分子固定為 1、分母無界增長，商自然被擠向零。

lim(x→2) (1 + (x³−8)/(4x−8))^(2x) = 256

極限值是 256。這並不是 1 的無窮次方型：分子的立方差 x³−8 = (x−2)(x²+2x+4)，分母是 4(x−2)，約掉公因式後底數為 (x²+2x+8)/4，在 x = 2 處等於 4，而指數 2x = 4，所以答案就是 4⁴ = 256，不必去湊 e 的極限。

數列極限 (2ⁿ + (−7)ⁿ)/(2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹) 等於 −1/7

極限是 −1/7。比較底數的絕對值可知 (−7)ⁿ 佔主導，把分子分母同時除以它，記 r = 2/(−7)，由於 |r| < 1 有 rⁿ → 0，式子就化為 (0 + 1)/(0 − 7)。

(2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) 在 x → ∞ 時的極限等於 −1

極限是 −1。分子分母都趨於無窮大，屬於未定型；但 3 > 2，所以 3ˣ 是主導項，上下同除以 3ˣ 後 (2/3)ˣ → 0，式子化為 (t − 1)/(t + 1)，t → 0 即得 −1。羅必達法則在這裡反而越求越複雜。

極限 (2n − n³)/(12 + n³) = −1，所以選項裡沒有一個對

極限是 −1，所以應當選「以上都不對」。分子的首項係數是 −1、分母是 +1，其餘各項分別按 1/n² 或 1/n³ 趨於零。

x → ∞ 時 (2x − 3)/(x² + 3x) 的極限是 0

極限是 0。分子次數 1 低於分母次數 2，有理函數在無窮遠處的極限就是 0；具體做法是分子分母同除以 x²，讓各個負次方項趨於零、分母穩定到 1，圖形上表現為水平漸近線 y = 0。

(2x² + x − 3)/|x − 1| 在 x → 1 的極限不存在：左 −5、右 5

極限不存在。分子分解成 (x − 1)(2x + 3)，正好與絕對值裡的 x − 1 對應；左極限是 −5，右極限是 5，函數在 x = 1 處有一個高度為 10 的跳躍。

x → 1 時 (3x³ − 2x − 1)/(5x² + 3x − 8) 的極限是 7/13

極限是 7/13。分子與分母在 x = 1 處同時為零，說明兩者都含因式 x − 1；把它約掉，0/0 未定型隨之消失，再代入即可。

x → 2 時 3x³ + 5x² + 4x − 10 的極限等於 42

極限等於 42。多項式在每個實數點都連續，所以直接代入 x = 2：3·8 = 24，5·4 = 20，4·2 = 8，再減 10，合起來就是 42。這類題不是 0/0 型，用不上因式分解、有理化或羅必達法則，代入即可。

x → −2 時 (4 − x²)/(2x² + x³) 的極限是 1

極限是 1。分子按平方差分解成 (2 − x)(2 + x)，分母提出公因式得 x²(2 + x)，約掉共同的 (2 + x) 之後代入 x = −2 即可。

求 (4x²+7x−2)/(3x²+8x+2) 在 x→2 的極限：答案為 14/15

答案是 14/15。先檢查分母在 x = 2 的值，它等於 30 而不是 0，所以直接代入是合法的，得到 28/30，約分後為 14/15。

(5x³−2x+1)/(3x³+7) 在 x→∞ 的極限為 5/3

極限是 5/3。分子分母同除以 x³ 之後，剩下的每一項都趨近零，只留下兩個最高次項係數的比值。

9 − x² 在 x 趨近正無窮大時的極限為 −∞

極限是 −∞。從常數 9 裡減去無限增大的 x²，函數值會無下界地一路下降，正好對應開口向下的拋物線。

為何 lim(x→∞) (1/i)e^(ix) 不存在：用歐拉公式看

由於 1/i = −i，原式等於 sin x − i cos x，模長始終是 1 而永遠繞圈。它不會安定在任何值上，所以極限不存在。

合成函數在無限大的極限：f(x) 與 f(f(x))

f(x)=(3+√x)/(4√x) 定義在 (0,∞)，求 x 趨近無限大時 f(x) 與 f(f(x)) 的極限。拆分式得極限 1/4，再用合成函數的連續性算 f(1/4)=7/4，並附數值驗證。

底為 x/((e^x−1)cos√x) 的 1^∞ 型極限：答案是 1，選 D

極限是 1，選 D。指數的行為像 1/x，而底是 1 + O(x²)，兩者相乘趨近 0，所以整個式子趨近 e^0 = 1。

兩個對數相乘在無限大的極限：答案 2ln2

求 x 趨近正無限大時 ln(1+2ˣ)·ln(1+2/x) 的極限。這是 ∞·0 不定型，用 ln(1+2ˣ)~x ln2 與 ln(1+t)~t 兩個漸近等價相乘，x 恰好消掉，得 2ln2 = ln4 ≈ 1.3863。

用代入法求 (2x²+x−3)/|x−1| 在 x→−2 的極限：答案為 1

答案是 1。分母 |x−1| 在 x = −2 時等於 3 而不是 0，函數在該點連續，直接代入就得到 3/3 = 1，不必分左右極限來做。

用拉普拉斯集中法證明 lim a(n+1)/a(n) = 4/5

令 a(n) 是 2^x/(1+x²)^n 從 1/2 到 2 的積分，則 a(n+1)/a(n) 是 1/(1+x²) 的加權平均，因此會趨近它的最大值 4/5。

ln(100x^100+5x+3)/ln(2x^20+3x²−2) 在無窮大的極限為 5

極限是 5。只有最高次數有影響：兩個對數的行為分別像 100 ln(x) 與 20 ln(x)，係數 100 與 2 被完全沖掉。

(3n²−4n+9)/(n²+32n+48) − √(n²+n+18) 的極限為 −∞

答案是負無窮大。有理式那一項趨近有限值 3，而平方根像 n 一樣無限增大，有界量減去無界量必然發散。

(√(4−x) − 3)/(x²+7x+10) 在 x 趨近 −5 時的極限為 1/18

極限是 1/18。分子與分母在 x = −5 都變成零，所以把分子乘上共軛式，再把二次式因式分解，約掉共同的 (x + 5) 因式。

把分子看成 cos x 的二次式：(cos²x−4cos x+3)/sin²x 極限為 1

極限是 1。把分子當成 cos x 的二次式來分解，再把 sin²x 改寫成 (1−cos x)(1+cos x)，會消失的因式剛好約掉，完全不必動用羅必達法則。

提出 cos x 求 (cos x − cos³x)/x² 的極限：答案是 1

答案是 1。分解後得到 cos x (1 − cos²x) = cos x sin²x，所以原式就是 cos x 乘上 (sin x / x) 的平方，兩個標準極限在 x = 0 都等於 1。

(eˣ − 1)/x 在 x → 0 的極限等於 1：三種做法

極限是 1。它就是 eˣ 在 0 處的導數定義，也可以由級數 eˣ = 1 + x + x²/2 + … 得到，而羅必達法則一步就算得出來。

用泰勒級數求 (ln(1 + 2x) − 2x)/x² 在 x → 0 的極限：−2

極限是 −2。減去 2x 之後消掉了 ln(1 + 2x) 的一次項，留下來的是二次項 −(2x)²/2，再除以 x² 剛好剩下 −2。

ln(n)/n² 在 n 趨近無窮大時的極限為 0

極限是 0。對數的成長比任何正次方都慢，羅必達法則把 ln(n)/n² 變成 1/(2n²)，n 一大就塌成零。

用羅必達法則求 ln x / √x 在無窮大處的極限：答案是 0

極限是 0。它的形式是無窮比無窮，套一次羅必達法則就變成 2/√x，x 一大顯然趨近零。

在對數裡提出 e^x：lim(x→∞) ln(e^x + x)/(x² + 1) = 0

極限是 0。在對數裡把 e^x 提出來得到 ln(e^x + x) = x + ln(1 + x e^−x)，於是分子像 x 一樣成長，分母卻像 x² 成長。

−2x − 4 在 x 趨近負無窮大時的極限為 +∞

極限是正無窮大。負係數乘上趨向 −∞ 的變數會得到正的乘積，而固定的 −4 壓不住這種無界的成長。

用夾擠定理證明 lim(n→∞) (−1)^n / n = 0

極限是 0。分子只在 −1 與 1 之間交替，始終有界，而 n 無限增大，於是絕對值 1/n 被迫趨近零。

n²(1 − cos(2/n)) 在 n 趨近無窮大時的極限是 2

代入 u = 2/n 之後，數列變成 4 乘上 (1 − cos u)/u²，而這個比值趨近 1/2，所以整個式子的極限是 2。

∞^0 型極限 lim(x→0+) (1 + 1/x)^(x²/e^x) 等於 1

右極限是 1。取對數後 ∞^0 變成 x² ln(1/x)，而它趨近 0；在左側底是負的，所以式子根本沒有定義。

把黎曼和的極限寫成定積分：答案 98/3

求 n 趨近無限大時 Σ(3+2i/n)²·(2/n) 的極限。由 Δx=2/n 讀出區間長 2、由樣本點 3+iΔx 讀出 a=3、b=5、f(x)=x²，得 ∫₃⁵x²dx = 98/3 ≈ 32.667。

用有理化求 (√(3+x) − √3)/x 在 x = 0 的極限：√3/6

極限等於 √3/6，約 0.2887。乘上共軛式把根號清掉，約去 x，再把 x = 0 代進剩下的式子就得到答案。

(√(3x−2) − 2)/(√x − √2) 在 x 趨近 2 時的極限為 3√2/2

答案是 3√2/2，約 2.12132。代入 t = √x 就露出導數的差商，或者把兩個根號都有理化；兩條路走出同一個值。

√(x³ + 4x²)/x 在 x = 0 的極限不存在

因為 √(x²) 等於 x 的絕對值，右極限是 2 而左極限是 −2，所以這裡的雙側極限並不存在。

為何 (√(x+11) − 6)/(x − 5) 在 x = 5 的極限不存在

極限不存在。在 x = 5 時分子是 √16 − 6 = −2 而不是 0，所以這是 −2/0 而非 0/0：商從右邊衝向 −∞，從左邊衝向 +∞。

用共軛式求 (√(x+5) − 3)/(x − 4) 在 x = 4 的極限：1/6

極限是 1/6。乘上共軛式之後分子變成 x − 4，剛好跟分母約掉，只剩下 1/(√(x+5) + 3) 可以直接代值。

求 √(x² + 6x − 2) 在 x 趨近 3 時的極限：答案是 5

極限是 5。根號內的式子在 x = 3 連續而且為正，所以代入就得到 √25——平方根可以直接穿過極限符號。

用泰勒展開求 (sin 3x − 3 sin x)/x³ 的極限：−4

極限是 −4。一次項 3x 互相抵消，留下三次項 −9x³/2 與 +x³/2，所以商趨近 −4——這個 0/0 型必須展開到三階。

(sin 3x − cos 2x)/(2x − π)² 在 x = π/2 的極限為 5/8

極限是 5/8。代入 x = π/2 + t 得到 (cos 2t − cos 3t)/(4t²)，再用兩個餘弦的二階展開，就剩下 (9/2 − 2)/4。

(sin 3x + x)/(x + sin 5x) 在 x 趨近 0 時的極限為 2/3

極限是 2/3。分子分母同除以 x，每一項都變成標準的 sin(kx)/x 極限，於是得到 (3 + 1)/(1 + 5) = 4/6。

(sin 4x + cos 2x)/(4x − π) 在 x = π/4 的極限為 −3/2

極限是 −3/2。平移 x = π/4 + t 之後分子變成 −sin 4t − sin 2t，分母變成 4t，所以比值趨近 (−4 − 2)/4。

sin(9x)/cot(12x) 在 x 趨近 0 時的極限是零

sin(9x)/cot(12x) 在 x 趨近 0 時的極限等於 0。把 cot(12x) 改寫成 cos 除以 sin，商就變成 sin(9x)sin(12x)/cos(12x)，再代入即可。

sin(x) 在 x 趨近無窮大時的極限不存在

答案是極限不存在。兩個奔向無窮大的數列分別讓 sin x 永遠等於 1 與 −1，所以函數值從來不會安定在單一個數上。

用夾擠定理證明 sin(x)/x 在 x 趨近 0 時的極限為 1

答案是 1，前提是 x 用弧度。用 cos x ≤ sin(x)/x ≤ 1 搭配夾擠定理即可證明；若改用角度，同樣的極限會變成 π/180。

(sin x / x)^(1/(cos x − 1)) 在 x → 0 的極限：e^(1/3)

極限是 e^(1/3) ≈ 1.3956。這是 1^∞ 型，取對數後比較 ln(sin x / x) 與 cos x − 1 的 x² 項，就得到指數 1/3。

sinh(x)/√(cosh 2x) 在 x 趨近無窮大時的極限為 √2/2

答案是 √2/2，約 0.70711。把兩個雙曲函數都用指數改寫，各自提出 e^x，存活下來的常數就是 1/√2。

用有理化求 √(36x² + 7x + 49) − 6x 在 x → ∞ 的極限：7/12

極限是 7/12。乘上共軛式把 ∞ − ∞ 型變成 (7x + 49)/(√(36x² + 7x + 49) + 6x)，它的主導行為是 7x/12x。

tan(2x)/sin(3x) 在 x 趨近 0 時的極限等於 2/3

把 tan 2x 寫成 sin 2x / cos 2x，分子分母同除以 x，再用標準的 sin(kx)/x 極限；因為 cos 0 等於 1，答案就是 2/3。

提出 sin x 求 lim(x→0) (tan x − sin x)/x² 的極限：0

極限是 0，因為 tan x − sin x 的行為像 x³/2，比 x² 高一階。若一開始就把兩個函數都換成 x，會錯誤地把分子壓成零。

(tan x / x)^(1/x) 在 x 趨近 0 時的極限等於 1

極限是 1。它是 1^∞ 不定型；取對數之後變成 (x²/3)/x，而它趨近 0，所以原式趨近 e^0。

常數 3 在 x 趨近無窮大時的極限仍然是 3

答案是 3。常數函數對每個輸入都給出同樣的輸出，所以不管 x 變得多大，函數值一步也不會離開 3。

1/x − ⌊1/x⌋ 在 x → 0⁺ 時的極限不存在

極限不存在。這個式子就是 1/x 的小數部分，沿著 x = 1/n 它恆為 0，沿著 x = 1/(n+½) 它恆為 1/2。

用錯位相減法求 lim Σ n/2ⁿ：答案是 2

答案是 2。把整個和乘以 1/2 再相減，係數會伸縮成一個單純的等比級數，得到 S/2 = 1，因此 S = 2。

為何 (2 arctan(ρ/δ)/π)^ρ 趨近 e^(−2δ/π)

底是從下方升到 1 的，所以這個次方趨近 e^(−2δ/π) 而不是 1。該值小於 1，因此中括號恆為負，它的實數對數沒有定義。

用三次羅必達法則求 lim(x→∞) x³e^(−2x)：答案是 0

極限是 0。改寫成 x³/e^(2x) 之後得到無窮比無窮，每微分一次冪次就降一階，而指數函數卻毫髮無傷。

(x − 9)/(√x − 3) 在 x 趨近 9 時的極限是 6

極限等於 6。把 x − 9 寫成 (√x − 3)(√x + 3) 就能直接約掉分母，剩下 √x + 3，在 x = 9 時等於 6。

((x + 3)/(x − 1))^(x + 3) 在無窮大處的極限為 e⁴

極限是 e⁴。把底改寫成 1 + 4/(x − 1) 就進入標準的 e 型，而指數在極限裡貢獻出一個因子 4。

用平方差求 (x² − 16)/(x + 4) 在 x = −4 的極限：−8

極限是 −8。代入得到 0/0，所以把 x² − 16 分解成 (x − 4)(x + 4)，跟分母約掉 x + 4，再把 x = −4 代進 x − 4。

(x²−3x+2)/(√(5−x) − √(x+1)) 在 x 趨近 2 時的極限為 −√3

極限是 −√3，約 −1.732。上下兩邊在 x = 2 都變成零，所以把分子因式分解，再乘上共軛式，把共同的 (x − 2) 因式約掉。

x² − 4 在 x 趨近正無窮大時的極限為 +∞

極限是正無窮大。x² 這一項超越任何界線，而 −4 固定不動，所以兩者之差向上發散，沒有有限的極限值。

約掉 x − 3 求 (x² + 2x − 15)/(x² − 9) 在 x = 3 的極限：4/3

極限是 4/3。直接代入得到 0/0，所以把上下分別分解成 (x + 5)(x − 3) 與 (x − 3)(x + 3)，約掉共同的 x − 3，再代入 x = 3。

用因式分解與約分求 x = −4 處的 0/0 極限：答案是 3/5

(x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4) 在 x 趨近 −4 時的極限是 3/5。上下在 −4 都變成零，所以要先把共同的 (x + 4) 提出來再代入。

x^(x+1)/(1+x)^x − 1/e 在 x 趨近無窮大時的極限為 +∞

答案是正無窮大。把這個商改寫成 x(1+1/x)^(−x)，就看得出它像 x/e 一樣成長，所以減去常數 1/e 壓不住這個發散。

(x²−x−6)/|x+2| 在 x = −2 的極限不存在

答案是極限不存在。因式分解得到 (x−3)(x+2)/|x+2|，它的左極限是 5 而右極限是 −5，兩個單側值並不一致。

(1 + tan 5x − cos x)/(√(1−x²) − ⁵√(1+x)) 在 x → 0 的極限為 −25

極限是 −25。只有一次項有影響：分子的行為像 5x，分母像 −x/5，因為 √(1−x²) 那一塊在一階完全沒有貢獻。

含兩個根號的極限（x→2）：答案 5/16

求 x 趨近 2 時 (√(3x−2)+√(x−1)−3)/(x²−4) 的極限。這是 0/0 型，把 −3 拆成 −(2+1)、對兩個根號各自有理化，約掉 (x−2) 後代入得 5/16，並用羅必達法則驗證。

沿半圓的線積分：拆出恰當微分再參數化

沿 x²+y²=4 的右半圓（y 遞增方向）求 (eˣsin y − xy)dx + (xy + eˣcos y)dy 的線積分。檢查非保守後把恰當部分拆出得 2sin2，其餘用參數化與奇偶對稱得 16/3，合計約 7.152。

x 接近 y 時 ln(x/y) 約等於 (x−y)/y：相對變化量

答案：ln(x/y) ≈ (x−y)/y，也就是相對變化量。再加下一項修正得 (x−y)/y − ((x−y)/y)²/2，誤差遠小於百分之一。關鍵是令 u = (x−y)/y 後套用 ln(1+u) 的馬克勞林級數。

線性近似估 62.5 的立方根：4 + x/48 得 3.96875

用 f(x)=∛(64+x) 在 x=0 的線性近似估 ∛62.5。切線為 L(x)=4+x/48，代 x=−1.5 得 3.96875，與精確值 3.968503 相差 0.000247；由二階導數為負可知必為高估。

用 Beta 函數算 ln x/(x^0.9(1−x)^0.1) 的積分：約 −100.1039

答案是 (π/sin(π/10))(ψ(0.1) + γ) ≈ −100.1039。對 B(a, b) 的 a 微分時務必保留分母的 Γ(a+b)，漏掉它結果會偏負約 6%。

對數微分法求 (sin x)^(cos x) 的導數：cos²x/sin x − sin x ln sin x

導數是 (sin x)^(cos x) 乘上 (cos²x/sin x − sin x ln sin x)。底數與指數同時是變數，冪函數法則與指數法則都用不上，要先兩邊取自然對數。

1/(1+x)² 的馬克勞林級數：1 − 2x + 3x² − 4x³ + …

級數是 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + 7x⁶ − 8x⁷ + …，也就是 Σ(−1)ⁿ(n + 1)xⁿ。作法是把 1/(1 + x) 的幾何級數逐項微分。

sin x 到 7 次的馬克勞林級數：x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040

級數是 x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040。只出現奇次冪是因為正弦是奇函數，分母則是奇數的階乘 3!、5!、7!。

tan x/(1 + x²) 到 7 次的馬克勞林級數：x − (2/3)x³ + (4/5)x⁵ − (47/63)x⁷

級數是 x − (2/3)x³ + (4/5)x⁵ − (47/63)x⁷ + O(x⁹)。把 tan x 的級數乘上 1/(1 + x²) 的幾何級數，再收集到 x⁷ 為止的同次項即可。

tanh(10⁻¹³x)/x 到 10 次的馬克勞林級數：只剩偶次項

只有偶次冪存活：10⁻¹³ − 10⁻³⁹x²/3 + 2·10⁻⁶⁵x⁴/15 − 17·10⁻⁹¹x⁶/315 + 62·10⁻¹¹⁷x⁸/2835 − 1382·10⁻¹⁴³x¹⁰/155925。要展到 10 次，tanh 必須取到 z¹¹ 那一項。

向量外積的混合二階偏導數：答案是常向量 −k

A = xi + yj − zk、B = 3xi + 2yj + zk，求 A×B 對 y 再對 x 的混合二階偏導數在 (1,2,1) 的值。先算行列式得 3yz i − 4xz j − xy k，兩次偏微分後恆為 −k，與點無關。

[a, ∞) 上單調、非負又無界的 f：瑕積分必定發散

單調加無界加非負，逼得 f 只能是遞增且趨於無窮，所以最終 f ≥ 1，尾端積分大於區間長度，而區間長度沒有上限，積分因此發散。

牛頓冷卻定律算咖啡溫度：20 分鐘與降到 30°C

90°C 的咖啡放在 20°C 房間，10 分鐘後降到 65°C。用 T=20+70e^(−kt) 求出 k，20 分鐘時為 48.9°C，降到 30°C 需要 10ln7/ln(14/9) ≈ 44 分鐘。

為什麼 lim(x→0) 4/(x²·2^(1/x)) 不存在：左右極限不同

右極限是 0、左極限是 +∞，所以雙邊極限不存在。代換 t = 1/x 之後，兩側都化成 4t²/2^t 這個多項式與指數的競賽。

參數 a 為何值時 cos√(a−x²)=1 恰有 8 個根

求使 cos√(a−x²)=1 恰有 8 個根的參數 a。由 √(a−x²)=2πk 得 x²=a−4π²k²，每個 k 貢獻 0、1 或 2 個根，需 k=0,1,2,3 全部嚴格成立，故 36π² < a < 64π²。

對 t 求偏導數：結果是 −100·Vy·Vm20·b / (Vm + Vm20(t − 20)b)²

把分母記作 D，再對 D⁻¹ 用連鎖律，得 ∂d/∂t = −100·Vy·Vm20·b / (Vm + Vm20(t − 20)b)²。末尾的 −100 是常數，微分後就消失了。

氣體體積公式對 Pa 的偏導數：1000M(Pg − Pv) 除以 Pg(1 + (t − 20)b)(Pv − Pa)²

除了比值 (Pg − Pa)/(Pv − Pa) 以外全都是常數，所以用商法則得 ∂V/∂Pa = 1000M(Pg − Pv) / [Pg(1 + (t − 20)b)(Pv − Pa)²]。

用連鎖律求 ln(x² + y²) 對 x 的偏導數：2x/(x² + y²)

答案是 2x/(x² + y²)。把 y 當成常數，內層導數就只是 2x，外層的對數則貢獻 x² + y² 的倒數。

x²y + y sin x 對 x 的偏導數：2xy + y cos x

答案是 2xy + y cos x。把 y 固定成常數之後它只是個乘法係數，所以真正要微分的只有 x² 與 sin x，逐項處理即可。

含根號分式取對數的一階偏導數：z_x 與 z_y

求 z = ln((x−√(x²−y²))/(x+√(x²−y²))) 的兩個一階偏導數。先把商的對數拆成差，令 u=√(x²−y²) 並用 x²−u²=y²，得 z_x = −2/√(x²−y²)、z_y = 2x/(y√(x²−y²))。

ax + b 分別對 a 與對 b 的偏導數：一個是 x，一個是 1

答案：對 a 的偏導數是 x，對 b 的偏導數是 1。每一次都要把除了微分變數以外的所有符號凍結成常數。

dy/dx = 3x²(y − 4) 且 f(0) = 6 的特解：y = 4 + 2e^(x³)

特解是 y = 4 + 2e^(x³)。分離變數後積分得 ln|y − 4| = x³ + C，取指數，再由 f(0) = 6 定出常數等於 2。

由 x = 2 處的條件求 f'' = 2 的特解：f(x) = x² + x + 4

特解是 f(x) = x² + x + 4。把 f'' = 2 連續求兩次反導函數，再用 f'(2) = 5 定出 C1 = 1、用 f(2) = 10 定出 C2 = 4。

r = 2 sin θ 與 r = 4 sin θ 之間、θ 從 π/3 到 π/2 的面積：π/2 + 3√3/4

面積是 π/2 + 3√3/4 ≈ 2.8698。化成極座標後兩個圓變成 r = 2 sin θ 與 r = 4 sin θ，兩條界線把 θ 限制在 π/3 與 π/2 之間。

心臟線 a(1 − cos θ) 上 r³cos²θ 的極座標積分：49πa⁴/32

答案是 49πa⁴/32。先對 r³ 積分得 a⁴(1 − cos)⁴/4，展開四次方，捨去奇次的餘弦冪，再套用 Wallis 值 π、3π/4 與 5π/8。

ρ 從 2 sin θ 積到 2 的極座標積分 ρ²sin θ：4√2/3 − π/4 − 2/3

答案是 4√2/3 − π/4 − 2/3，約 0.43355。先積出 ρ³/3，再用降冪公式處理 sin⁴，最後把 θ 從 π/4 積到 π/2。

內層下限含對數的極座標二重積分：答案是 1/2

答案是 1/2。內層對 1/r 積分會產生下限的對數，剩下的 θ 積分則化成已知的 sin u ln(sin u) 積分。

若 ∫e^f sin x ln f dx = 0，則存在 x₁ 使 f(x₁) = 1

若 f 從不等於 1，則 ln f 連續且恆不為零，由中間值定理可知它保持同號，於是被積函數嚴格同號，積分不可能為零。

Σ x^(n−1)/n 從 n = 1 到無窮的和：−ln(1−x)/x

在 0 < |x| < 1 時總和是 −ln(1−x)/x，而 x = 0 處的可去值是 1。把一個 x 提到和式外面，就化成標準的 −ln(1−x) 級數。

Σ xⁿ/n² 從 n = 1 到無窮的和：雙對數函數 Li2(x)

總和是雙對數函數 Li2(x)，在 |x| ≤ 1 時收斂。它沒有初等的封閉形式，但在 x = 1 給出 π²/6，在 x = −1 給出 −π²/12。

兩端極限同為 A 時，證明 f' 必有零點

證明：若 f 在 [a, ∞) 上可微，且在 a 的右極限與在無窮處的極限同為有限值 A，則最大值或最小值必被困在內部，由 Fermat 定理得 f'(ξ) = 0。

證明每個實數數列都有單調子數列：峰點論證

若對所有 m > n 都有 a_n ≥ a_m，就稱 n 為峰點。峰點有無窮多個時可直接取出非遞增子數列；峰點只有有限多個時，則能造出嚴格遞增的子數列。

證明可微必連續：乘上 (x − a) 的技巧

把 f(x) − f(a) 寫成差商乘上 (x − a)。差商趨於 f'(a)、(x − a) 趨於 0，所以乘積趨於 0，於是 f(x) 趨於 f(a)。

用歸納法證明萊布尼茲公式 (fg)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,j) f⁽ⁿ⁻ʲ⁾ g⁽ʲ⁾

對 n 作歸納：把第 n 階的公式再微分一次會得到兩個和式，同類項透過巴斯卡法則 C(n,j) + C(n,j−1) = C(n+1,j) 併起來，就得到 n+1 的情形。

用代換 C = e^(−kt)u 解 dC/dt = D d2C/dx2 − kC

代換 C(x,t) = e^(−kt) u(x,t) 會把衰減項精確地消掉，剩下標準的熱傳導方程式 u_t = D u_xx，它所有已知的解都能直接沿用。

sin^(2n)(x) 的積分：遞迴公式與明確的封閉形式

遞迴公式是 I_n = −sin^(2n−1)(x)cos(x)/(2n) + (2n−1)/(2n) I_(n−1)，其中 I_0 = x；再用降冪公式可得到明確的餘弦級數。

交換積分順序算 e^(y³) 的二重積分：(e⁸−1)/6

e^(y³) 沒有初等反導函數，必須交換積分順序。原區域改成水平切片後內層積分給出 y²/2 的因子，代換 u=y³ 得 (e⁸−1)/6 ≈ 496.66。

先改寫再微分：1/√x、x/2 − 2/x 等四個函數的導數

四個導數依序是 −1/(2x^(3/2))、1/2 + 2/x²、(3/2)√x − 2x 與 18x。每個函數都得先改寫成冪的和，冪函數法則才用得上。

把 ln(x + √(a + x²)) 改寫成 arsinh(x/√a) + (1/2)ln a

當 a > 0 時這個式子等於 arsinh(x/√a) + (1/2)ln a。因為根號下的 a 本身不是平方，縮放因子是 √a，常數也就只剩半個對數。

把 ln(x + √(a² + x²)) 改寫成 arsinh(x/a) + ln a

當 a > 0 時這個式子等於 arsinh(x/a) + ln a。括號內同除以 a 就湊成標準形 ln(u + √(u² + 1))，剩下的 a 則變成 ln a。

證明 f(x)cos(px) 的積分在 p 趨於無窮時趨於 0

極限是 0。證法是用階梯函數逼近黎曼可積的 f，先把階梯函數的情形精確算出來，再用 ε 把誤差控制住。

f'' = 6x − 12 時在 x = 1 的二階導數判別法：局部最大值

f 在 x = 1 處有局部最大值。臨界點迫使 f'(1) = 0，而 f''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0，所以圖形在該點凹口向下。

用特徵方程式解常微分方程式 X'' = −0.1X

X(t) = C1 cos(t/√10) + C2 sin(t/√10)。特徵方程式 r² + 0.1 = 0 的根是純虛數，所以每個解都會永遠振盪下去。

用降階法求首次積分來解 y'' = e^y

答案：(y')² = 2e^y + C1，明確形式是 y = ln(C1/2) − 2 ln|sinh(√C1 (x − x0)/2)|。訣竅在於把 y' 看成 y 的函數，而不是 x 的函數。

解 x″ + y″ = t²、x″ − y″ = 4t 且初速為零：x = t⁴/24 + t³/3 + 8

解是 x = t⁴/24 + t³/3 + 8 與 y = t⁴/24 − t³/3。把兩個方程式相加與相減就把它們解耦了，剩下的只是兩次直接的兩重積分。

分離變數解 dx/dy = a·x^(2/3)：x = ((a/3)y + C)³

答案：x = ((a/3)y + C)³，另外還有奇異解 x = 0。除以 x^(2/3) 之後就只剩指數為 −2/3 的冪函數法則，它的反導函數是 3x^(1/3)。

分離變數解 dy/dx = 3 − 4y：y = 3/4 + Ce^(−4x)

答案是 y = 3/4 + Ce^(−4x)。分離變數得 −1/4 ln|3−4y| = x + C，而 3/4 正是解在 x 增大時所趨向的穩定平衡值。

分離變數解 dy/dx = e^y：y = −ln(C − x)

通解是 y = −ln(C − x)，只在 x < C 時有定義。分離變數得 e^(−y)dy = dx，而解會在 x 趨近 C 時於有限處爆掉。

分離變數解 dy/dx = ky：指數成長定律 y = Ce^(kx)

通解是 y = Ce^(kx)。分離變數得 dy/y = k dx，再把 ln|y| = kx + C 取指數，正負號與常數就一起併進同一個 C。

分離變數解 dy/dx = ((2y+3)/(4x+5))²：1/(2y+3) = 1/(8x+10) + C

答案：1/(2y+3) = 1/(8x+10) + C，另有奇異解 y = −3/2。把平方後的商拆開，讓兩邊各留一個變數，再把兩個 u^(−2) 形式積出來。

分離變數解 dy/dx = y²：y = 1/(C − x)

答案是 y = 1/(C − x)。把 y^(−2) 積分得 −1/y = x + C，而每個非零解都會在 x = C 處爆掉，只需要走過有限的距離。

解 dy/dx = y：為什麼答案是 y = Ce^x

答案是 y = Ce^x。分離變數得 ln|y| = x + C，把 e^C 併成單一個常數 C 之後，它就能取任意實數值，包括零在內。

分離變數解 dy = dx/(y − 1)²：(y − 1)³ = 3x + C

答案是 (y − 1)³ = 3x + C，也就是 y = 1 加上 3x + C 的立方根。乘上 (y−1)² 就完成了分離，而立方根不必再加正負號。

用部分分式解可分離方程式 y² + a y' = b：y = √b tanh(√b x/a + C)

當 b > 0 時答案是 y = √b tanh(√b x/a + C)。分離變數得到 dy/(b − y²)，它的積分用部分分式拆開後，化成一個比值的對數。

把兩個對數級數相減得到 ln((1+x)/(1−x)) 的級數

答案：在 |x| < 1 時是 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + …。用 ln(1+x) 的級數減去 ln(1−x) 的級數，偶次冪全部抵消，奇次冪則加倍。

級數 Σ n/3ⁿ 的斂散與和：比值審斂法得 3/4

判斷 Σ n/3ⁿ 的斂散並求和。比值審斂法給出 L=1/3<1，絕對收斂；再用幾何級數微分公式 Σ nrⁿ = r/(1−r)²，代入 r=1/3 得和為 3/4，並用部分和驗證。

為什麼 1/(3cos³x + sin2x + sin²x) 的積分會發散

答案：它發散。分母在 [−π/4, 3π/4] 內部的 x = 1.9569768 處有一個單零點，所以被積函數的行為像 1/(x − c)，而那是不可積的。

證明 x = sin(kt) + cos(kt) 滿足 x'' + k²x = 0

微分兩次得到 x'' = −k²(sin kt + cos kt)，恰好就是 −k²x。連鎖律讓每微分一次就補上一個 k 的因子。

在 [−7, 0] 上描繪 f(x) = −2x²eˣ：極小值、反曲點與值域

曲線下降到 x = −2 處的極小值 −8/e² ≈ −1.0827，再上升到 x = 0 處的 0。反曲點位在 x = −2 ± √2，而整個圖形都落在 x 軸上或其下方。

根號函數的斜漸近線：√(9x²−6x+3) 與 y=3x−1

證明 f(x)=√(9x²−6x+3) 在 x 趨近正無限大時有斜漸近線。配方成 (3x−1)²+2，猜出 y=3x−1，再用共軛式證明差趨於 0，且差恆為正，故曲線在漸近線上方。

隔離根號解 dy/dx + √(1 + (dy/dx)²) = e^x：y = cosh x + C

解是 y = cosh x + C。把根號隔離出來再平方，p² 項互相抵消，剩下 p = (e^x − e^(−x))/2 = sinh x，直接積分即可。

用積分因子解 dy/dx = 2y − x：y = Ce^(2x) + x/2 + 1/4

通解是 y = C e^(2x) + x/2 + 1/4。積分因子 e^(−2x) 讓左邊變成一個恰好的導數，而右邊則需要分部積分。

解 dy/dx = 6 − y/2 並找出平衡解 12

y = 12 + Ce^(−x/2)。把它改寫成 y' + y/2 = 6 就露出一階線性常微分方程式，而它的平衡解 y = 12 會吸引其他所有的解。

用積分因子 e^(2x) 解 dy/dx + 2y = e^(3x)

通解是 y = (1/5)e^(3x) + Ce^(−2x)。積分因子同樣是 e^(2x)，但右邊積出來是 e^(5x)/5 而不是 e^x。

解常係數的 dy/dx + ay = b：y = b/a + Ce^(−ax)

當 a 不為零時通解是 y = b/a + C e^(−ax)。常數 b/a 就是解所衰減趨向的平衡值，而 a = 0 時解會變成 y = bx + C。

解 f(x)/f'(x) = tan((k−1)x)：f(x) = C|sin((k−1)x)|^(1/(k−1))

答案是 f(x) = C|sin((k−1)x)|^(1/(k−1))。先取倒數把式子翻成 f'/f = cot((k−1)x)，左邊正是對數導數，積分後再取指數就還原出 f。

解 (t−1)x′ − x + 1 = t：通解為 x(t) = (t−1)(ln(t−1) + C)

在 t > 1 時通解是 x(t) = (t − 1)(ln(t − 1) + C)。先除以 t − 1 化成標準一階線性式，取積分因子 1/(t − 1)，右邊只剩 1/(t − 1) 可直接積分。

解正合方程式 (e^y + 6x)dx + xe^y dy = 0：隱式解 xe^y + 3x² = C

隱式解是 x e^y + 3x² = C。正合性檢驗 ∂M/∂y = ∂N/∂x = e^y 通過，代表位勢函數存在，把 M 對 x 積分就能把它建出來。

解 x′ = x − 2y、y′ = 2x + y：x = e^t(C₁cos 2t + C₂sin 2t)

解是 x = e^t(C₁cos2t + C₂sin2t)、y = e^t(C₁sin2t − C₂cos2t)。係數矩陣的特徵值為 1 ± 2i，實部為正，所以每條軌跡都向外螺旋。

解 y″ − 3y′ + 2y = eˣ：通解 y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ

通解是 y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ。因為 eˣ 本身已經是齊次解，待定係數法的試解必須先乘上 x，否則代進去恆等於 0。

解 y″ + 2y′ + y = e^(3x)：通解 (C₁ + C₂x)e^(−x) + e^(3x)/16

答案是 y = (C₁ + C₂x)e^(−x) + e^(3x)/16。特徵方程式 (r + 1)² = 0 給出重根 r = −1，指數 3 不是根，試解 Ae^(3x) 代入後逼出 16A = 1。

解 y″ + 2y′ + y = e^(−x)：通解 y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2)

答案是 y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2)。特徵根 −1 是重數 2 的重根，所以試解要乘上 x²；只乘一個 x 代進去仍然恆等於零。

解 y″ + 4y = 0：純虛根 ±2i，通解 y = C₁cos 2x + C₂sin 2x

通解是 y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)。特徵方程式 r² + 4 = 0 給出 r = ±2i，實部為 0，代表不增不減的純振盪，角頻率為 2、週期為 π。

解 y″ + y = 0：簡諧振子方程式，通解 y = C₁cos x + C₂sin x

通解是 y = C₁cos x + C₂sin x。特徵方程式 r² + 1 = 0 的根為 ±i，實部為 0，代表角頻率 1、週期 2π 的等幅振盪。

解 y″ + y = 12：通解 y = C₁cos x + C₂sin x + 12

答案是 y = C₁cos(x) + C₂sin(x) + 12。特徵根是 ±i，右邊是常數 12，用常數試解立刻得到特解，12 正是振盪的平衡位置。

求 Σ 1/(4n² − 1)（n 從 1 到 ∞）：伸縮相消後總和為 1/2

級數總和是 1/2。把 4n² − 1 因式分解成 (2n−1)(2n+1)，再拆成部分分式，中間的項就會兩兩相消，只留下最前面那一項。

求 Σ 1/(n(n+2))（n 從 1 到 ∞）：伸縮相消後等於 3/4

部分分式給出 (1/2)(1/n − 1/(n+2))，是相隔兩項才相消的伸縮級數，所以前端留下兩項，總和為 3/4。

求 Σ 2ⁿ/n!（n 從 0 到 ∞）：由 eˣ 級數得 e² ≈ 7.389

總和是 e² ≈ 7.389。它就是指數級數 Σxⁿ/n! 在 x = 2 的值；若改成從 n = 1 開始加，會少掉 n = 0 那一項，結果變成 e² − 1。

求 Σ 2k/2^k（k 從 1 到 ∞）：總和等於 4

總和等於 4。把常數 2 提出來後剩下 Σk(1/2)^k，用公式 x/(1−x)² 在 x = 1/2 算得 2，所以總和是 2 乘以 2。

求 Σ ln(n)/n²：等於 −ζ′(2) ≈ 0.9375482543

答案是 −ζ′(2) ≈ 0.9375482543。把 ζ(s) = Σ n^(−s) 逐項對 s 微分會冒出 −ln n · n^(−s)，取 s = 2 就精確認出這個級數。

求 Σ n/(n+1)!（n 從 1 到 ∞）：伸縮相消後恰好等於 1

總和恰好是 1。把分子的 n 寫成 (n+1) − 1，一般項就拆成 1/n! − 1/(n+1)!，部分和塌縮成 1/1! 減掉一個趨於零的尾巴。

求 Σ 1/(n·2ⁿ)：用 −ln(1 − x) 級數得 ln 2 ≈ 0.6931472

總和是 ln 2 ≈ 0.6931472。把 1/(n·2ⁿ) 改寫成 (1/2)ⁿ/n，對上 −ln(1 − x) = Σ xⁿ/n（|x| < 1），再代入 x = 1/2 並化簡即可。

平面 z = −2x + 4y + 1 在 3×5 矩形上的曲面面積：15√21

面積是 15√21，約 68.74。平面的曲面面積被積函數是常數，所以答案就是 √(1 + fx² + fy²) 乘上底面矩形的面積。

y = 3x⁴ − 6x² + 2 在 x = 2 的切線：斜率 72，切線 y = 72x − 118

斜率是 72，切點是 (2, 26) 而不是 (2, −2)，所以切線為 y = 72x − 118。文中並附上找出這個印錯座標的驗算。

a/(4b(x+b))·exp(−4b/(x+2b)) 在 x = 0 的泰勒展開：一次與二次項全消

展開式是 (a e⁻²/4b²)(1 − x³/12b³ + x⁴/8b⁴ + …)。x 與 x² 項恰好抵銷；先做代換 t = x/b，整個展開就完全不含參數。

求 2ˣ 在 x = 0 的泰勒級數：Σ (ln 2)ⁿxⁿ/n!，對所有實數成立

馬克勞林級數是 Σ (ln 2)ⁿxⁿ/n! = 1 + 0.6931x + 0.2402x² + …，對每個實數 x 都成立。把 2ˣ 換底寫成 e^(x ln 2)，就能直接沿用指數函數的級數。

3 sin x/cos²x + sin 2x 在 0 的泰勒展開：5x + (7/6)x³ + (43/24)x⁵

五次泰勒多項式是 5x + (7/6)x³ + (43/24)x⁵。做法是把 sin x 與 sec²x 的級數相乘，再加上 sin 2x 的級數，逐次方合併係數。

求 eˣ 在 x = 0 的泰勒級數：Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + …

級數是 n ≥ 0 的 xⁿ/n! 之和，也就是 1 + x + x²/2! + x³/3! + …，因為 eˣ 的每一階導數都是 eˣ，在 x = 0 都等於 1，而且對所有實數 x 都收斂。

ln(√(x²+1)+x) 的泰勒級數：x − x³/6 + 3x⁵/40 − 5x⁷/112 + …

在 [−1, 1] 上，ln(√(x²+1)+x) = x − x³/6 + 3x⁵/40 − 5x⁷/112 + …。這個函數就是 arcsinh x，微分後變成 1/√(1+x²)，再用二項級數展開並逐項積分即可。

√(1+2x) 在 x = 0 的泰勒級數：1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + …

答案是 1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + …，在 |x| ≤ 1/2 上成立。用二項級數取 α = 1/2、t = 2x，每一項都要記得把 2 的次方帶著走。

√(x²+1) 在 x = 0 的泰勒級數：1 + x²/2 − x⁴/8 + x⁶/16 − …

答案是 1 + x²/2 − x⁴/8 + x⁶/16 − 5x⁸/128 + …，在 [−1, 1] 上成立。把 t = x² 代進 α = 1/2 的二項級數，就只會剩下 x 的偶次方。

含根號的伸縮級數：Σ 1/(√(n+1)(n+2)+(n+1)√(n+2)) = 1/√2

總和是 1/√2 ≈ 0.7071。把分母因式分解後再有理化，一般項就變成 1/√(n+1) 減去 1/√(n+2)，中間的項全部相消。

三個極限：代入、因式分解與共軛，答案為 5、8、1/4

答案是 5、8 與 1/4。第一題靠連續性直接代入，第二題把 (x−3) 約掉，第三題乘上共軛式化掉 0/0 未定型。

圓錐與拋物面之間的三重積分：答案 π/12

求 x 在圓錐 x²=y²+z² 與拋物面 x=y²+z² 所圍立體上的三重積分。兩曲面都繞 x 軸旋轉對稱，改用繞 x 軸的圓柱座標，積分區間 r²≤x≤r、0≤r≤1，得 π/12 ≈ 0.2618。

2x − 2yz 在平面圍成的楔形上的三重積分：精確值 −466/5

答案精確為 −466/5，也就是 −93.2。先對 z 積到 −2x+4y−4，再對 y 積到 2x−2，最外層是 x 的四次多項式，從 2 積到 3 即得。

3az²sin y + 2z³sin y cos y 的三重積分：等於 3πa⁴/2

積分值是 3πa⁴/2。被積函數完全不含 x，所以對 x 積分只是乘上 2π；對 z 積分得 a⁴，對 y 積分得 3/4。

求 4x²yz³ 在長方體上的三重積分：值為 15/2

積分值是 15/2。長方體的上下限全是常數，被積函數又是乘積，所以依序對 x、y、z 積分，每一層把常數提出來即可。

求 4x²yz³ 在長方體上的三重積分：值為 19/2

積分值是 19/2。被積函數是 x 的函數、y 的函數與 z 的函數三者的乘積，區域又是長方體，所以三重積分可以拆成三個單變數積分。

−2y 在拋物面 z = 9 − x² − y² 下方的三重積分：精確值 −648/5

精確值是 −648/5。先對 z 積分得 −2y(9−x²−y²)，對 y 積分後塌縮成 −(9−x²)²/2，最後改用柱面座標可以完全獨立地再驗一次。

−5x + 5yz 在 y 範圍反向的區域上的三重積分：精確值 25/2

答案精確為 25/2。因為 x > 1 時 5 − 5x 是負的，y 的上下限方向相反；把這個定向一路帶進累次積分，結果是 +25/2。

−5y 在半圓盤上、拋物面下方的三重積分：精確值 −188

答案精確為 −188。對 z 積分得 −5y(9−x²−y²)，對 y 積分後塌縮成 −(5/4)(9−x²)²，再對 x 從 −1 積到 1 就得到 −188。

sin((x²+y²+z²)^(3/2)) 在錐面與球面之間的三重積分：≈ 0.128989

答案是 2π(1 − √3/2)(1 − cos 1)/3，約 0.128989。改用球面座標後，錐面變成固定的 φ = π/6，被積函數也只剩 ρ 一個變數。

x 在拋物面立體上的三重積分：由對稱性直接等於 0

x 在 z = x² + y² 內部、上至 z = 3 的立體上的積分是 0。區域對平面 x = 0 對稱，被積函數對 x 又是奇函數，所以正負完全抵銷。

x + 2y + 3z 在單位四面體上的三重積分：答案為 1/4

答案是 1/4。由對稱性，x、y、z 各自在四面體上的積分都是 1/24，所以加權總和就是 (1 + 2 + 3)/24，也就是 6/24。

x² + y² 在拋物面內部的三重積分：等於 336π

積分值是 336π。換成柱面座標後被積函數就是 r²，圓盤半徑是 √(2z)，整個計算最後化簡成 2π∫z² dz。

x²y² 在拋物面內部的三重積分：用柱面座標得 340π

積分值是 340π。換成柱面座標，2 ≤ z ≤ 8 時 r ≤ √(2z)，再把角度因子 cos²θ sin²θ 分離出來，它在整圈上積出 π/4。

單位球上 x²+y²+z² 的三重積分：球座標得 4π/5

用球座標求 x²+y²+z² 在單位球上的三重積分。被積函數化為 ρ²、體積元素帶 ρ²sinφ，三個積分可分離，得 (2π)(2)(1/5) = 4π/5 ≈ 2.5133。

xyz 在拋物面內部、z = 3 以下的三重積分：等於 0

積分值是 0。換到柱面座標後，角度因子是 cos θ sin θ 在整圈上的積分，它為零，所以徑向與 z 方向根本不必動手算。

xyz 在單位立方體上的三重積分：分離之後得 1/8

積分值是 1/8。立方體的上下限都是常數，被積函數又是單變數因子的乘積，所以三重積分就是 (1/2)³ ——每個方向各貢獻一個 1/2。

xyz·e^(−x−y−z) 在四面體上的三重積分：1 − e^(−k) 乘 e^k 級數前六項

答案是 1 減去 e^(−k) 乘上 e^k 級數的前六項。用單體的縮放律，三重積分就化成一個 gamma 型的單變數積分。

xz 的三重積分：由奇對稱性直接等於 0

積分值是 0。先對 z、再對 y 積分後，化簡成 (x − x⁷)/6 在 [−1, 1] 上的積分——奇函數在對稱區間上，正負剛好抵銷。

yz 在 z = y² 與平面 z = 4 之間的三重積分：等於 64π/3

積分值是 64π/3。z 從 y² 積到 4，內層得 (16 − y⁴)/2，於是對 y 的被積函數是 8y − y⁵/2，x 方向再貢獻一個 2π。

yz 且 z 從 0 積到 x² 的三重積分：等於 32π⁵/5

積分值是 32π⁵/5。內層 z 的上限依賴 x 而不是 y，所以先 z 後 y 積完只剩下 x⁴ 這個單一次方，而上限 2π 再生出 π⁵。

yz 且 z 從 0 積到 y² 的三重積分：等於 32π/3

積分值是 32π/3。被積函數與 z 的上限都含 y，所以內層積分塌成 y⁵/2，x 方向只貢獻一個 2π 的因子。

z² 在單位球面與錐面 z = r 之間的三重積分：π(4 − √2)/30

積分值是 π(4 − √2)/30，約 0.270783。用柱面座標，錐面是 z 的下限、球面是上限，兩者交於 r = 1/√2。

把 3x + y + z ≤ 3 上的三重積分改成 dy dx dz：值為 3/2

積分值是 3/2。這個區域是截距 x = 1、y = 3、z = 3 的四面體，改成先對 y、再對 x、最後對 z 積分，會得到同一個體積。

平面圍成區域上的三重積分：2x−4yz 得 −268

在 2≤x≤3、0≤y≤2x−4、0≤z≤5x+5y−3 上求 2x−4yz 的三重積分。上下限依變數順序已排好，依 dz dy dx 逐層積分並全程保留精確分數，結果為 −268。

帶小數圓形界限的三重積分求體積：約 0.7342

體積約為 0.7342。z 的上下限對稱，內層積分等於兩倍的根號；y 的積分貢獻一段長度，最後對 x 的積分只能用數值方法。

計算上下限全部顛倒的三重積分 4x + 5y − 19z：答案 612

答案是 612。每一層的上下限都是由大到小，三次變號相乘剛好等於一個負號；照慣例先從最內層的 z 積起，逐層往外算即可。

極限為 a 與 −a 時有幾條水平漸近線：兩條 y = a、y = −a

只要 a 是有限且非零的數就有兩條水平漸近線 y = a 與 y = −a。若 a = 0 兩條線重合，就只剩 y = 0 這一條。

求 1/(1 + n² ln n) 級數和的上界：1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044

由 n ≥ 2 時 ln n ≥ ln 2 可得乾淨的上界 1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044。實際和約為 1.4976，所以這個上界安全但不夠緊。

分段函數在 x=2 連續的 a 值：左右極限相等得 a=2

f(x) 在 x<2 為 x²+2x−3、在 x≥2 為 ax+1，求使 f 在 x=2 連續的 a。左極限為 5、右極限與 f(2) 皆為 2a+1，令兩者相等得 a=2；但左右導數不同，圖形仍有尖角。

(x + 4)/(x + m) 在 (−∞, −7) 上遞增的 m：半開區間 (4, 7]

導數分子是 m − 4，所以 m > 4；再要求極點 x = −m 不落在 (−∞, −7) 裡，得到 m ≤ 7。答案是半開區間 (4, 7]。

s = 5t³ + 3t + 8 在 t = 5 秒的速度 378 m/s、加速度 150 m/s²

微分一次得 v = 15t² + 3，再微分一次得 a = 30t，所以 t = 5 秒時速度是 378 公尺每秒、加速度是 150 公尺每秒平方。

v(3) = 44/3 ≈ 14.67 m/s：由 a(t) = t² − 2t + 3 積分求速度

v(3) = 44/3 ≈ 14.67 公尺每秒。加速度在 [1, 3] 上的定積分就是速度的變化量 20/3，再加上初速度 v(1) = 8 即得；反導函數為 t³/3 − t² + 3t。

半徑 2 球內、雙錐外的體積為 16√2π/3 ≈ 23.695

體積為 16√2π/3 ≈ 23.695。改用球座標後，條件 x² + y² ≥ z² 就只是 π/4 ≤ φ ≤ 3π/4，ρ 與 θ 取滿範圍，三重積分直接拆成三個一維積分相乘。

y = x² 與 x = y² 繞 y 軸旋轉的體積為 3π/10 ≈ 0.942

體積為 3π/10 ≈ 0.942。把兩條曲線改寫成 x 對 y 的式子，外半徑是 √y、內半徑是 y²，墊圈法算 π 乘上 y − y⁴ 從 0 到 1 的積分即得；剝殼法可交叉驗證。

y=x²+5 繞 x 軸旋轉的體積：3500π/3

由 y=x²+5、x 軸、y 軸與 x=5 圍成的區域繞 x 軸旋轉 360 度，求旋轉體體積。曲線不越過旋轉軸故截面為完整圓盤，展開 (x²+5)² 後逐項積分得 3500π/3 ≈ 3665.19。

正方形截面立體的體積：底為 y=eˣ 下的區域

立體的底是第一象限中由 x 軸、y 軸、y=eˣ 與 x=3 圍成的區域，垂直 x 軸的每個截面都是正方形。截面邊長為 eˣ、面積 e^(2x)，積分得 (e⁶−1)/2 ≈ 201.214。

(x² + y² + z²)² ≤ a³z 所圍區域的體積為 πa³/3

體積為 πa³/3。改用球座標後曲面就是 ρ = a(cos φ) 的三分之一次方，而徑向積分產生的 ρ³ 恰好抵消掉三分之一次方，剩下的 φ 積分非常單純。

sinⁿx 從 0 到 π/2 的積分：降階公式 Iₙ = (n − 1)/n · Iₙ₋₂

降階公式 I(n) = ((n − 1)/n)·I(n − 2)，配上 I(0) = π/2 與 I(1) = 1，就給出 Wallis 結果：n 為偶數時保留一個 π/2 因子，n 為奇數時則沒有。

1/x 在 x = 0 沒有泰勒級數：正確的展開是勞倫級數 x⁻¹

泰勒級數需要 f(0) 以及所有階導數在 0 都存在，但 1/x 在該點根本沒有定義。以 0 為中心的正確展開是勞倫級數 x⁻¹，它帶有負次冪，代表原點是一階極點。

∫x dx = x²/2 嗎？為什麼一定要補上積分常數 C

差一點：正確答案是 x²/2 + C。冪次法則給出 x²/2，但每一個 x²/2 + C 的導數都是 x，所以反導函數是一整族函數，而不是單獨一個函數。

∫x⁷ dx = x⁸/8 + C：為什麼 x⁸/3 + 7 是錯的

x⁷ 的不定積分是 x⁸/8 + C，不是 x⁸/3 + 7。冪次法則要除以新的指數 8，而把 x⁸/3 微分回去只會得到 8x⁷/3，並不是 x⁷；常數也必須是任意的 C。