Calculus
Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
F(x) = (1/2) ln(2x + 1)，且 F((e² − 1)/2) = 1。用 u = 2x + 1 代換，再由 F(0) = 0 定出積分常數為 0，最後注意 2x + 1 剛好縮成 e²。
由 x² + y² = 7y、x² + y² = 9y 以及 y = x/√3、x = 0 所圍的區域，面積為 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84。逐步列出並計算極坐標的面積積分。
x = 1 是可去不連續，在 (1, −2) 有一個洞；x = 2 是不可去不連續，是鉛直漸近線。把分子分母都因式分解，看哪個零因式會被約掉。
這個積分剛好等於 π。x³ cos(x/2) 那一項是奇函數，積出來是 0，剩下的部分則是半徑 2 的圓面積的一半。
導函數是 3x² − 6x + 2，從 0 到 3 的積分等於 9/4。先用乘冪法則微分，再用微積分基本定理算出有向面積。
導函數是 (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)]，其中 x > 1。乘冪法則與指數法則都不適用，所以要先對兩邊取自然對數。
從 x²/a² − y²/b² = 1 消去 a 與 b 得到 xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0。微分兩次，再把兩個關係式相除，一次消掉兩個常數。
計算 x 平方減 8y 在矩形 −2 ≤ x ≤ −1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。上下限都是常數，逐步做疊積分即可。
二重積分等於 16π/9 ≈ 5.585。先對 y 積得到 (8/3)x sin³x，再用三倍角公式把 sin³x 降次，最後用分部積分。
計算 x cos(x + y) 在頂點為 (0,0)、(π,0)、(π,π) 的三角形上的二重積分。上下限取 0 ≤ y ≤ x，精確答案是 −3π/2 ≈ −4.712。
計算 9y + 4x 在 y = 4x² − 9 與 y = 9 − 4x² 所圍區域上的二重積分。先求出上下限，再用對稱性一眼看出答案。
答案：a = 2、b = 3、c = 4。要讓極限有限，分子必須在 x = 1 為零；約分後極限為 3，左側的 −x + c 也必須等於它。
通解是 y = e^(−x) + Ce^(−2x)。整式乘上積分因子 e^(2x)，把左邊看成乘積律的反向，積分一次再除回去即可。
對 f = x²y + x e^(−xy)，沿方向 (0, −1) 的方向導數是 −x²(1 − e^(−xy))——它剛好就是對 y 的偏導數取負號。
求讓 f(x)=(mx−4)/(x−m) 在 (0,+∞) 上遞增的整數 m 個數。商的微分法得 f′=(4−m²)/(x−m)²，需 −2<m<2；再要求垂直漸近線 x=m 不落在區間內，故 m≤0，答案為 m=−1、0 共 2 個。
求 ∫x²eˣdx。取 u=x² 讓多項式次數逐次下降，分部積分做兩次得 eˣ(x²−2x+2)+C，再微分驗算，並給出 ∫xⁿeˣdx 的正負交錯通式。
用拉普拉斯轉換解 y″−y=4δ(t−2)+t²，y(0)=0、y′(0)=2。脈衝轉成 e^(−2s)，部分分式後逐項反轉換，得 y=2eᵗ−t²−2+4u(t−2)sinh(t−2)。
解 y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1，y(0) = −1。認出摺積後轉換成代數，(s−1) 約掉，部分分式加配方法，得含 e^(−t/2) 與 √7/2 頻率的阻尼振盪解。
在 [2,5] 上用 6 個矩形的左端點與右端點黎曼和估計 f(x)=2x²−x−1 與 x 軸間的面積。Δx=1/2，得 L₆=55、R₆=74.5，真值 129/2=64.5 剛好夾在中間。
f(x)=(3+√x)/(4√x) 定義在 (0,∞)，求 x 趨近無限大時 f(x) 與 f(f(x)) 的極限。拆分式得極限 1/4，再用合成函數的連續性算 f(1/4)=7/4，並附數值驗證。
求 x 趨近正無限大時 ln(1+2ˣ)·ln(1+2/x) 的極限。這是 ∞·0 不定型，用 ln(1+2ˣ)~x ln2 與 ln(1+t)~t 兩個漸近等價相乘，x 恰好消掉，得 2ln2 = ln4 ≈ 1.3863。
求 n 趨近無限大時 Σ(3+2i/n)²·(2/n) 的極限。由 Δx=2/n 讀出區間長 2、由樣本點 3+iΔx 讀出 a=3、b=5、f(x)=x²，得 ∫₃⁵x²dx = 98/3 ≈ 32.667。
求 x 趨近 2 時 (√(3x−2)+√(x−1)−3)/(x²−4) 的極限。這是 0/0 型，把 −3 拆成 −(2+1)、對兩個根號各自有理化，約掉 (x−2) 後代入得 5/16，並用羅必達法則驗證。
沿 x²+y²=4 的右半圓（y 遞增方向）求 (eˣsin y − xy)dx + (xy + eˣcos y)dy 的線積分。檢查非保守後把恰當部分拆出得 2sin2，其餘用參數化與奇偶對稱得 16/3，合計約 7.152。
用 f(x)=∛(64+x) 在 x=0 的線性近似估 ∛62.5。切線為 L(x)=4+x/48，代 x=−1.5 得 3.96875，與精確值 3.968503 相差 0.000247；由二階導數為負可知必為高估。
A = xi + yj − zk、B = 3xi + 2yj + zk，求 A×B 對 y 再對 x 的混合二階偏導數在 (1,2,1) 的值。先算行列式得 3yz i − 4xz j − xy k，兩次偏微分後恆為 −k，與點無關。
90°C 的咖啡放在 20°C 房間，10 分鐘後降到 65°C。用 T=20+70e^(−kt) 求出 k，20 分鐘時為 48.9°C，降到 30°C 需要 10ln7/ln(14/9) ≈ 44 分鐘。
求使 cos√(a−x²)=1 恰有 8 個根的參數 a。由 √(a−x²)=2πk 得 x²=a−4π²k²，每個 k 貢獻 0、1 或 2 個根，需 k=0,1,2,3 全部嚴格成立，故 36π² < a < 64π²。
求 z = ln((x−√(x²−y²))/(x+√(x²−y²))) 的兩個一階偏導數。先把商的對數拆成差，令 u=√(x²−y²) 並用 x²−u²=y²，得 z_x = −2/√(x²−y²)、z_y = 2x/(y√(x²−y²))。
e^(y³) 沒有初等反導函數，必須交換積分順序。原區域改成水平切片後內層積分給出 y²/2 的因子，代換 u=y³ 得 (e⁸−1)/6 ≈ 496.66。
判斷 Σ n/3ⁿ 的斂散並求和。比值審斂法給出 L=1/3<1，絕對收斂；再用幾何級數微分公式 Σ nrⁿ = r/(1−r)²，代入 r=1/3 得和為 3/4，並用部分和驗證。
證明 f(x)=√(9x²−6x+3) 在 x 趨近正無限大時有斜漸近線。配方成 (3x−1)²+2，猜出 y=3x−1，再用共軛式證明差趨於 0，且差恆為正，故曲線在漸近線上方。
求 x 在圓錐 x²=y²+z² 與拋物面 x=y²+z² 所圍立體上的三重積分。兩曲面都繞 x 軸旋轉對稱，改用繞 x 軸的圓柱座標，積分區間 r²≤x≤r、0≤r≤1，得 π/12 ≈ 0.2618。
用球座標求 x²+y²+z² 在單位球上的三重積分。被積函數化為 ρ²、體積元素帶 ρ²sinφ，三個積分可分離，得 (2π)(2)(1/5) = 4π/5 ≈ 2.5133。
在 2≤x≤3、0≤y≤2x−4、0≤z≤5x+5y−3 上求 2x−4yz 的三重積分。上下限依變數順序已排好，依 dz dy dx 逐層積分並全程保留精確分數，結果為 −268。
f(x) 在 x<2 為 x²+2x−3、在 x≥2 為 ax+1，求使 f 在 x=2 連續的 a。左極限為 5、右極限與 f(2) 皆為 2a+1，令兩者相等得 a=2；但左右導數不同，圖形仍有尖角。
由 y=x²+5、x 軸、y 軸與 x=5 圍成的區域繞 x 軸旋轉 360 度，求旋轉體體積。曲線不越過旋轉軸故截面為完整圓盤，展開 (x²+5)² 後逐項積分得 3500π/3 ≈ 3665.19。
立體的底是第一象限中由 x 軸、y 軸、y=eˣ 與 x=3 圍成的區域，垂直 x 軸的每個截面都是正方形。截面邊長為 eˣ、面積 e^(2x)，積分得 (e⁶−1)/2 ≈ 201.214。