計算 x 乘上 e^(−x²) 對 x 從 0 到無窮大的瑕積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把瑕積分改寫成極限。 上限為無窮大是用常義積分的極限來定義的，而正是這個定義讓「收不收斂」這個問題有意義：

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx$

2. 2

   做代換 $u=x^2$。 前面那個因子 $x$ 恰好就是代換所需要的——這也是為什麼 $x\,e^{-x^2}$ 是初等可積的，而單獨的 $e^{-x^2}$ 不是：

   $u=x^2,\qquad du=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac{du}{2}$

   上下限也跟著換：$x=0\Rightarrow u=0$、$x=b\Rightarrow u=b^2$。

3. 3

   對 $u$ 積分。

   $\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{b^2}e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^{b^2}=\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)$

4. 4

   取極限。 當 $b\to\infty$ 時 $b^2\to\infty$ 而 $e^{-b^2}\to 0$：

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac12$

   積分收斂，而且衰減得極快：到 $b=3$ 時，剩下的尾巴只貢獻 $\tfrac12 e^{-9}\approx 6\times 10^{-5}$。

5. 5

   與一個相關結果對照。 由於被積函數是奇函數，同一個原函數給出 $\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=0$；而它那個偶函數的同伴 $\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0.886$ 卻根本沒有初等原函數。兩相對照就看得出，區區一個 $x$ 因子把問題改變了多少：有它，答案是精確的 $\tfrac12$；沒有它，就得動用高斯積分的技巧。