在區域 E：1 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 5 − 5x、0 ≤ z ≤ −x − 2y − 5 上，求 −5x + 5yz 的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   注意上下限是退化的，並想清楚這代表什麼。 當 $x$ 落在 $(1,2]$ 時，題目寫的 $y$ 上限 $5-5x$ 是負的，因此低於下限 $0$；$z$ 也一樣，它的上限 $-x-2y-5$ 是負的。照字面寫出來的區域作為立體是空的，所以這題應該讀成帶著這些上下限的累次積分，其中方向反過來的範圍會以相反的符號貢獻。

2. 2

   對 z 積分。 取 $Z=-x-2y-5$，$\int_0^{Z}(-5x+5yz)\,dz=-5xZ+\frac{5y}{2}Z^2$。代入並展開得 $10y^3+10xy^2+50y^2+\frac52x^2y+35xy+\frac{125}{2}y+5x^2+25x$。

3. 3

   對 y 從 0 積到 5 − 5x。 求出反導函數並代入（為負的）上限，得到最外層的被積函數 $\frac{14125}{12}x^4-\frac{20200}{3}x^3+\frac{28425}{2}x^2-\frac{39250}{3}x+\frac{53125}{12}$。

4. 4

   對 x 求反導函數。 這個四次多項式的 $\int$ 是 $\frac{2825}{12}x^5-\frac{5050}{3}x^4+\frac{9475}{2}x^3-\frac{19625}{3}x^2+\frac{53125}{12}x$。

5. 5

   從 x = 1 代到 x = 2。 反導函數在兩端點的差是 $\frac{25}{2}=12.5$。儘管被積函數 $-5x+5yz$ 在大部分範圍內都是負的，結果卻是正的，因為兩個反向的定向把符號翻了兩次。

6. 6

   數值檢查。 把同一個累次積分照字面（保留反向的內層範圍）做數值計算，回傳 $12.500000$，與 $\frac{25}{2}$ 相符。

7. 7

   與一個常見的錯誤值對照。 一份常見的解答把答案寫成 $-\frac{40625}{72}\approx -564.2$；那個值過不了數值檢查，可見反向上下限的符號處理必須格外小心。