求微分方程式 ẋ = 4t x² 的所有解 x(t)。

Step-by-step solution

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   看出這個方程式可以分離變數。 右邊剛好可以拆成（只含 $t$ 的函數）乘上（只含 $x$ 的函數）：$4t\cdot x^2$。這正是能用分離變數法的條件。

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   分離變數後積分。 先假設 $x\ne 0$，這樣相除才合法，於是 $\frac{dx}{x^2}=4t\,dt\ \Longrightarrow\ \int x^{-2}\,dx=\int 4t\,dt\ \Longrightarrow\ -\frac1x=2t^2+C_0.$

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   解出 $x$。 兩邊乘以 $-1$ 得到 $\dfrac1x=-2t^2-C_0$。令 $C=-C_0$ 把負號吸收掉：$x(t)=\frac{1}{C-2t^2},\qquad C\in\mathbb{R}.$ 每一個這樣的解只存在於 $C-2t^2\ne 0$ 的區間上；當 $C>0$ 時，解會在 $t=\pm\sqrt{C/2}$ 處發散。

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   把分離變數法丟掉的那個解找回來。 除以 $x^2$ 的那一步其實默默假設了 $x\ne 0$。直接檢驗 $x(t)\equiv 0$：$\dot{x}=0$ 而 $4tx^2=0$，所以它確實滿足原方程式。它是一個貨真價實的解，而且不論 $C$ 取任何有限值，都寫不成 $1/(C-2t^2)$ 的形式。

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   驗證這一族解。 對 $x=(C-2t^2)^{-1}$ 微分得到 $\dot{x}=-(C-2t^2)^{-2}(-4t)=\dfrac{4t}{(C-2t^2)^2}=4tx^2$，正是所要求的。

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   寫出完整的解集。 $x(t)\equiv 0\qquad\text{或}\qquad x(t)=\frac{1}{C-2t^2}\ \ (C\in\mathbb{R}),$ 每一個解都定義在使分母不為零的最大區間上。