計算 y 在區域 −1 ≤ x ≤ 1、x² ≤ y ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認出區域。 對 $[-1,1]$ 中的每一個 $x$，切片都從拋物線 $y=x^2$ 一路到直線 $y=1$。兩條曲線相交於 $x^2=1$ 處，也就是 $x=\pm 1$，所以這個區域正好是拋物線與水平線之間所夾的部分——封閉、有界，而且對 $y$ 軸對稱。

2. 2

   先對 $y$ 積分，因為上下限依賴於 $x$。

   $\int_{x^2}^{1} y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=1}=\frac{1}{2}-\frac{\left(x^2\right)^2}{2}=\frac{1-x^4}{2}$

   注意 $\left(x^2\right)^2=x^4$ 而不是 $x^2$——把下限平方這一步，正是四次項的來源。

3. 3

   利用偶函數的對稱性省一半工夫。 函數 $\tfrac{1-x^4}{2}$ 是偶函數，所以

   $\int_{-1}^{1}\frac{1-x^4}{2}\,dx=2\int_0^1\frac{1-x^4}{2}\,dx=\int_0^1\left(1-x^4\right)dx$

4. 4

   做完外層積分。

   $\int_0^1\left(1-x^4\right)dx=\left[x-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=1-\frac15=\frac45$

5. 5

   用形心的意義來檢驗。 區域面積為 $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx=2-\tfrac23=\tfrac43$。既然 $\iint y\,dA=\bar y\cdot\text{面積}$，這個答案意味著形心高度為

   $\bar y=\frac{4/5}{4/3}=\frac{3}{5}=0.6$

   這是個合理的數值：區域在 $y=1$ 附近最寬，而在 $y=0$ 處收成一點，所以質心應該落在中點 $y=0.5$ 上方 $\checkmark$。