計算 x + 2y 在區域 1 ≤ x² + y² ≤ 4、y ≥ x、x ≤ 0 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   因為區域是由圓所界定，改用極座標。 令

   $x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad dA = r\,dr\,d\theta$

   圓環的條件就單純變成 $1 \le r \le 2$，與 $\theta$ 無關——正是這種變數分離讓這裡值得做座標變換。

2. 2

   把第一個角度條件翻譯過來。 $x \le 0$ 表示 $r\cos\theta \le 0$，而 $r > 0$，所以

   $\cos\theta \le 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

   這就是左半平面。

3. 3

   再翻譯第二個角度條件。 $y \ge x$ 表示 $\sin\theta \ge \cos\theta$。把差寫成單一個正弦，

   $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\!\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$

   兩個範圍取交集，得到楔形

   $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

   角度跨度為 $3\pi/4$。這個交集算錯，是本題最主要的風險。

4. 4

   轉換被積函數，別忘了乘上 Jacobian。

   $(x + 2y)\,dA = r(\cos\theta + 2\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^2(\cos\theta + 2\sin\theta)\,dr\,d\theta$

   $dA$ 額外帶來的那個 $r$，正是把 $r^1$ 變成 $r^2$ 的原因——漏掉它是極座標的經典錯誤。

5. 5

   積分可以分離，先做徑向部分。 由於 $r$ 的上下限不隨 $\theta$ 改變：

   $\int_1^2 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$

6. 6

   再做角度部分並合併。

   $\int_{\pi/2}^{5\pi/4} (\cos\theta + 2\sin\theta)\,d\theta = \bigl[\sin\theta - 2\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{5\pi/4}$

   在 $\theta = 5\pi/4$ 處，正弦與餘弦都等於 $-\frac{\sqrt2}{2}$，代入得 $-\frac{\sqrt2}{2} + \sqrt2 = \frac{\sqrt2}{2}$；在 $\theta = \pi/2$ 處，方括號內為 $1 - 0 = 1$。所以角度積分為 $\frac{\sqrt2}{2} - 1$，於是

   $\iint_D (x+2y)\,dA = \frac{7}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = \frac{7}{6}\left(\sqrt{2} - 2\right) \approx -0.6834$

   結果為負是意料中的事：這塊楔形大部分落在 $x < 0$ 的地方。以極座標做數值積分得 $-0.68341751$，直接對原本的直角座標條件做蒙地卡羅檢驗則得 $-0.681$。