計算 (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) 在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   判斷不定型。 當 $x\to\infty$ 時分子與分母都無限增大，形成 $\tfrac{\infty}{\infty}$。這不是一個值——它只告訴你必須先改寫算式，才能把極限讀出來。

2. 2

   分子分母同除以出現過的最高次方。 兩者都是三次式，所以每一項都除以 $x^3$（對很大的 $x$ 這是合法的，因為 $x\neq 0$）：

   $\frac{5x^{3}-2x+1}{3x^{3}+7}=\frac{5-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{3+\dfrac{7}{x^{3}}}.$

3. 3

   讓每個倒數次方趨近零。 對任意 $k>0$，當 $x\to\infty$ 時 $\dfrac{1}{x^{k}}\to 0$，所以那三個小項都消失：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{5-0+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$

4. 4

   說明這題所展示的一般規則。 對有理函數，比較次數：次數相同時得到最高次項係數的比（這裡是 $\tfrac53$），分子次數較小時得到 $0$，分子次數較大時得到 $\pm\infty$。低次項 $-2x$、$+1$ 與 $+7$ 從來不影響答案。

5. 5

   用數值檢驗。 在 $x=10^{6}$ 時，商為

   $\frac{5\cdot 10^{18}-2\cdot 10^{6}+1}{3\cdot 10^{18}+7}=1.6666666\ldots,$

   與 $\tfrac53=1.6\overline{6}$ 相符到很多位小數。