求 (1 + 1/x)^(x² / e^x) 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先看看這個式子在哪裡才有定義。 對很小的 $x<0$，底 $1+\tfrac1x$ 是負的（在 $x=-0.1$ 時它等於 $-9$），而負的底取任意實數次方在實數範圍內沒有定義。所以只能討論右極限，任何答案都必須標明是 $x\to 0^{+}$。

2. 2

   辨認不定型。 當 $x\to 0^{+}$ 時：

   $1+\frac1x\to+\infty,\qquad \frac{x^2}{e^x}\to\frac{0}{1}=0$

   這是 $\infty^{0}$，是真正的不定型——依照兩個部分各自變化的快慢，它可以是任何正數。

3. 3

   取對數，把次方轉成乘積。 令 $L=\left(1+\tfrac1x\right)^{x^2/e^x}$，

   $\ln L=\frac{x^2}{e^x}\ln\left(1+\frac1x\right)$

   對數是處理每一種 $\infty^{0}$、$0^{0}$ 或 $1^{\infty}$ 形式的標準工具：它把底與指數之間的較勁變成單純的乘積。

4. 4

   估計那個對數。 對很小的正 $x$，$1+\tfrac1x\sim\tfrac1x$，所以 $\ln\left(1+\tfrac1x\right)\sim-\ln x$。由於 $e^x\to 1$，整個乘積的行為像

   $\ln L\sim x^2\ln\frac1x$

5. 5

   使用標準極限 $x^{a}\ln x\to 0$。 $x$ 的任何正次方都贏過對數：

   $\lim_{x\to 0^{+}}x^2\ln\frac1x=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 0^{+}}\ln L=0$

6. 6

   再取指數回去。 由於 $\ln L\to 0$ 而 $\exp$ 是連續的，

   $\lim_{x\to 0^{+}}L=e^{0}=1$

   數值上：在 $x=0.01$ 時值是 $1.000457$，在 $x=10^{-5}$ 時是 $1.0000000012$——收斂到 $1$ ✓。雙側極限不存在，因為函數在 $0$ 的左邊沒有定義。