求 x 趨近 2 時 (根號 (3x − 2) 加根號 (x − 1) 減 3) 除以 (x 平方減 4) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先代入 $x=2$ 辨認不定型。 用任何技巧之前都要先檢查：

   $\text{numerator}=\sqrt{3(2)-2}+\sqrt{2-1}-3=\sqrt4+\sqrt1-3=2+1-3=0$

   $\text{denominator}=2^2-4=0$

   所以是 $\tfrac00$ 型。這是好消息不是壞消息：它保證因式 $(x-2)$ 同時藏在分子和分母裡，可以約掉。另外注意 $x=2$ 舒服地待在定義域內，因為在 $x=2$ 附近 $3x-2>0$ 且 $x-1>0$。

2. 2

   把分子拆開，讓每個根號各自減掉自己的值。 常數 $-3$ 恰好是 $-(2+1)$，也就是兩個根式在 $x=2$ 的值之和。這樣改寫後，兩個根式可以分開處理：

   $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3=\underbrace{\big(\sqrt{3x-2}-2\big)}_{\to\,0}+\underbrace{\big(\sqrt{x-1}-1\big)}_{\to\,0}$

   這是關鍵的一步。想一口氣把三項的分子有理化只會弄得一團亂；拆開之後，一個難極限就變成兩個簡單的共軛問題。

3. 3

   用共軛式分別有理化。 乘上 $\frac{\sqrt{\;}+\text{值}}{\sqrt{\;}+\text{值}}$ 可以把根號之差變成平方差：

   $\sqrt{3x-2}-2=\frac{(3x-2)-4}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}$

   $\sqrt{x-1}-1=\frac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$

   兩塊現在都帶著明顯的因式 $(x-2)$ —— 正是分母裡也有的那個因式。

4. 4

   約掉公因式 $(x-2)$。 把分母用平方差分解成 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，再合併：

   $\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3}{x^2-4}=\frac{(x-2)\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]}{(x-2)(x+2)}$

   $=\frac{1}{x+2}\left[\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]$

   可以約掉是合法的，因為極限只在意 $x\ne2$ 的情形。

5. 5

   把 $x=2$ 代進約分後的式子。 已經沒有任何不定型：

   $\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2+2}+\frac{1}{1+1}\right]=\frac14\left[\frac34+\frac12\right]=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$

6. 6

   用羅必達法則交叉驗證。 因為原式是 $\tfrac00$ 型，分子分母各自微分也是合法的：

   $\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}=\frac{\tfrac{3}{4}+\tfrac12}{4}=\frac{\tfrac54}{4}=\frac{5}{16}$

   兩條路徑一致。數值抽查也吻合：$x=2.00001$ 時商為 $0.3124986\ldots$，而 $\tfrac{5}{16}=0.3125$。