解線性聯立微分方程式 x′ = x − 2y、y′ = 2x + y。

Step-by-step solution

1. 1

   把聯立式寫成單一個矩陣方程式。 令 $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$，聯立式就是 $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$，其中

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

   這一步之所以重要，是因為接下來整個解完全由 $A$ 的特徵值決定——不需要任何代入或消去。

2. 2

   求特徵值。 特徵方程式為

   $\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^2 = -4$

   所以 $\lambda = 1 \pm 2i$。一對共軛複數 $\alpha \pm \beta i$ 一定會給出 $e^{\alpha t}$ 乘上 $\beta t$ 的正弦與餘弦：成長率 $\alpha = 1$，旋轉率 $\beta = 2$。

3. 3

   求出一個特徵向量。 對 $\lambda = 1 + 2i$，$A - \lambda I$ 的第一列給出 $-2i\,v_1 - 2v_2 = 0$，所以 $v_2 = -i\,v_1$，因而

   $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$

   只需要一個特徵向量：共軛的那一個不帶來新的資訊。

4. 4

   把複數解拆成實部與虛部。 利用 $e^{(1+2i)t} = e^{t}(\cos 2t + i\sin 2t)$，

   $e^{(1+2i)t}\mathbf{v} = e^{t}\begin{pmatrix} \cos 2t + i\sin 2t \\ \sin 2t - i\cos 2t \end{pmatrix}$

   它的實部 $e^t(\cos 2t,\ \sin 2t)$ 與虛部 $e^t(\sin 2t,\ -\cos 2t)$ 是兩個線性獨立的實數解。

5. 5

   把兩者組合成通解。

   $x(t) = e^{t}\left(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\right), \qquad y(t) = e^{t}\left(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t\right)$

6. 6

   代回驗算。 把 $x$ 微分得到 $e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + e^t(-2C_1\sin 2t + 2C_2\cos 2t)$，而 $x - 2y = e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) - 2e^t(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t)$——正是同一個式子。第二條方程式的驗算方式相同。由於 $\alpha = 1 > 0$，每一條軌跡都從原點向外螺旋。