一杯剛倒好的咖啡溫度為 90 度 C，放在室溫 20 度 C 的房間裡。10 分鐘後咖啡降到 65 度 C。求 20 分鐘後的溫度，以及降到 30 度 C 需要多久。

Step-by-step solution

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   先列出微分方程。 牛頓冷卻定律說降溫的速率正比於物體高出環境多少，而不是正比於它本身的溫度：

   $\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_a),\qquad T_a=20^\circ\text{C}$

   分離變數後積分，得到標準解

   $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}=20+70e^{-kt}$

   因為 $T_0-T_a=90-20=70$。

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   用 10 分鐘那筆讀數求 $k$。 它是模型裡唯一的未知數，一個資料點就能把它釘住：

   $65=20+70e^{-10k}\;\Longrightarrow\;e^{-10k}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}$

   $k=-\frac{1}{10}\ln\frac{9}{14}=\frac{1}{10}\ln\frac{14}{9}\approx0.04418\ \text{min}^{-1}$

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   求 20 分鐘的溫度，而且完全不必用到 $k$ 的小數值。 因為 $20=2\times10$，指數只要平方就好：

   $e^{-20k}=\left(e^{-10k}\right)^{2}=\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$

   $T(20)=20+70\cdot\frac{81}{196}=20+\frac{405}{14}=20+28.93=48.93^\circ\text{C}$

   保留精確分數可以避免用 $70e^{-0.0442\times20}$ 時產生的捨入漂移。

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   解出降到 $30^\circ\text{C}$ 所需的時間。 令 $T(t)=30$：

   $30=20+70e^{-kt}\;\Longrightarrow\;e^{-kt}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\;\Longrightarrow\;kt=\ln 7$

   $t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln(14/9)}=\frac{19.459}{0.44183}\approx44.0\ \text{minutes}$

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   讓兩個答案互相檢查合理性。 咖啡在前 10 分鐘掉了 $25^\circ$，第二個 10 分鐘只掉約 $16^\circ$（$65\to48.9$）—— 遞減的降幅正是「以指數方式逼近室溫」所預測的。而 $30^\circ\text{C}$ 只比室溫高 $10^\circ$，理應要拖很長的尾巴才到得了；$44$ 分鐘說得通。咖啡在有限時間內永遠不會真正降到 $20^\circ\text{C}$，因為對所有 $t$ 都有 $e^{-kt}>0$。