求 n² 乘上 (1 − cos(2/n)) 在 n 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   指出不定型。 當 $n\to\infty$ 時 $n^2\to\infty$，而 $1-\cos\frac{2}{n}\to 0$，所以這個乘積是 $\infty\cdot 0$ 型，必須先改寫才讀得出任何極限。

2. 2

   代入一個會縮小的變數。 令 $u=\frac{2}{n}$，於是 $n=\frac{2}{u}$ 且 $u\to 0^+$。那麼 $n^2\left(1-\cos\frac{2}{n}\right)=\frac{4}{u^2}\left(1-\cos u\right)=4\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}$。

3. 3

   回想那個配套的標準極限。 $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$。它可由半角恆等式 $1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$ 配合 $\lim\frac{\sin t}{t}=1$ 推得。

4. 4

   把各部分合起來。 極限是 $4\cdot\frac{1}{2}=2$。

5. 5

   用級數交叉驗證。 由於 $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$，可得 $1-\cos\frac{2}{n}\approx\frac{2}{n^2}$，再乘上 $n^2$ 就剩下 $2$。

6. 6

   數值檢查。 在 $n=10^{5}$ 時該式算出來是 $1.99999999993$，確認了這個極限。