判斷 1/(1 + n (ln n)²) 從 n = 1 加到無窮是否收斂，並估計它的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把第一項單獨處理掉。 在 $n=1$ 時 $\ln 1=0$，所以這一項是 $\dfrac{1}{1+0}=1$。真正值得討論的行為從 $n=2$ 才開始，所以寫成

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}$

2. 2

   與貝特朗級數比較。 當 $n\ge 2$ 時，那個 $+1$ 只會讓分母更大，所以

   $0<\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}<\frac{1}{n\left(\ln n\right)^{2}}$

   而 $\sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ 恰好在 $p>1$ 時收斂。這裡 $p=2$，所以比較級數收斂，原級數也跟著收斂。

3. 3

   看看為什麼分界線落在 $p>1$。 用代換 $u=\ln x$，積分審斂法就變成

   $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{\ln 2}$

   之所以有限，是因為 $u$ 的指數大於 1。若 $p=1$，同樣的代換會得到 $\int du/u$，那是發散的——這就是經典的臨界情形。

4. 4

   接受它沒有初等封閉形式這件事。 不像 $\sum 1/n^{2}=\pi^{2}/6$，這個和目前並不知道能用標準常數寫出來，所以誠實的答案就是「判定收斂」加上一個數值。

5. 5

   用尾項積分來估值，而不是只看部分和。 它收斂得極慢：取前 $N$ 項之後剩下的尾巴大約是

   $\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln N}$

   在 $N=10^{7}$ 時部分和是 $2.42985$，但尾巴仍有 $0.06204$——所以在那裡就收手、回報 $2.43$（甚至 $2.42$），會把答案低估超過 $2\%$。

6. 6

   把部分和與尾項加起來。 在不同的截斷點做這件事，都得到穩定的數值：

   $N=10^{4}:\ 2.38332+0.10857=2.49189,\qquad N=10^{7}:\ 2.42985+0.06204=2.49189$

   所以

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}\approx 2.4919$

   $N$ 橫跨三個數量級都吻合，正是這個估計值可信的理由。