求 ln(1 + x/(eπ)) 對 x 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $e\pi$ 當成單一常數。 乘積 $e\pi\approx 8.53973422$ 裡面沒有 $x$，所以它的行為和任何一個數字沒有兩樣。及早認清這一點，就不會忍不住想對它套乘法律或除法律。

2. 2

   對自然對數套連鎖律。 取 $u=1+\dfrac{x}{e\pi}$，

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u},\qquad u'=\frac{1}{e\pi}$

   因為 $x$ 是線性出現的，所以內導數是常數 $\tfrac{1}{e\pi}$。

3. 3

   寫出這個商。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{e\pi}}{1+\frac{x}{e\pi}}$

   這樣已經正確，但它是分數裡還有分數；多花一行化簡是值得的。

4. 4

   清掉繁分數。 分子分母同乘 $e\pi$：

   $\frac{\frac{1}{e\pi}\cdot e\pi}{\left(1+\frac{x}{e\pi}\right)e\pi}=\frac{1}{e\pi+x}$

   這個常數從分子完全消失，只是把分母平移了一下。

5. 5

   看出一般的模式並驗算。 對任意常數 $c$，$\dfrac{d}{dx}\ln\left(1+\tfrac{x}{c}\right)=\dfrac{1}{x+c}$：一次函數取對數後的導數，就是那個一次函數的倒數，並經過縮放讓領導係數為 1。數值上在 $x=1.7$ 處中央差分為 $0.0976588$，而 $\dfrac{1}{1.7+8.53973422}=0.0976588$ ✓。