計算 (2x² + x − 3)/|x − 1| 在 x 趨近 −2 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   在耍任何聰明技巧之前先檢查分母。 絕對值分母通常意味著要做單側分析，但那只有在絕對值裡的式子會在極限點變成零時才需要。這裡

   $|x-1|\ \text{為零的唯一位置是}\ x=1,$

   而極限點是 $x=-2$，離它遠得很。所以沒有任何不定型要處理。

2. 2

   在 $x=-2$ 的一個鄰域上把絕對值拆掉。 對接近 $-2$ 的 $x$ 都有 $x-1<0$（在 $x=-2$ 時它等於 $-3$），所以在整個鄰域上

   $|x-1|=-(x-1)=1-x.$

   改寫之後絕對值完全消失，也看得出這個函數在 $x=-2$ 附近就是兩個多項式的商——因此在該點連續。

3. 3

   確認形式不是 0/0。 在 $x=-2$ 分別計算分子與分母：

   $2(-2)^{2}+(-2)-3=8-2-3=3,\qquad |-2-1|=|-3|=3.$

   兩者都不為零，所以不需要因式分解、有理化或羅必達法則這些步驟——那些工具只為不定型而存在。

4. 4

   直接代入。 因為函數在 $x=-2$ 連續，極限就是函數值：

   $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}=\frac{3}{3}=1.$

5. 5

   確認兩個單側極限一致。 從左邊逼近（$x=-2.001$）：$\frac{2(4.004)+(-2.001)-3}{3.001}=\frac{3.007}{3.001}\approx 1.002$。從右邊逼近（$x=-1.999$）：$\frac{2.993}{2.999}\approx 0.9980$。步長縮小時兩者都趨近 $1$，所以雙側極限存在而且等於 $1$ ✓。可以拿它跟 $\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$ 對照，在那裡絕對值確實會逼出不同的左值與右值。