求 x sec y = 4y − y tan 2x 的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   全程都把 $y$ 當成 $x$ 的函數。 這個方程式沒辦法解出 $y$ 的封閉形式，所以我們對兩邊同時對 $x$ 微分，讓每個 $y$ 都藉連鎖律暗自帶著一個 $\dfrac{dy}{dx}$。等號兩邊都含有「$x$ 的因子乘上 $y$ 的因子」，所以乘積律會用到兩次。

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   先微分左邊。 取 $u=x$、$v=\sec y$，並利用 $\dfrac{d}{dx}\sec y=\sec y\tan y\,\dfrac{dy}{dx}$： $\frac{d}{dx}\left(x\sec y\right)=\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}.$

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   再微分右邊，別漏掉內層的因子 $2$。 $4y$ 這一項給出 $4\dfrac{dy}{dx}$。至於 $y\tan 2x$，乘積律加連鎖律（注意 $\dfrac{d}{dx}\tan 2x = 2\sec^{2}2x$，不是 $\sec^{2}2x$）給出 $\frac{d}{dx}\left(y\tan 2x\right)=\frac{dy}{dx}\tan 2x + 2y\sec^{2}2x,$ 所以整個右邊微分後是 $4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x.$ 把那個因子 $2$ 漏掉，是本題唯一最常見的錯誤。

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   把含 $\dfrac{dy}{dx}$ 的項收到同一邊。 令兩邊的導數相等， $\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}=4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x,$ 再把所有含 $\dfrac{dy}{dx}$ 的項移到右邊、其餘移到左邊： $\sec y + 2y\sec^{2}2x=\frac{dy}{dx}\left(4-\tan 2x-x\sec y\tan y\right).$

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   相除把導數孤立出來。 $\frac{dy}{dx}=\frac{\sec y + 2y\sec^{2}2x}{4-\tan 2x-x\sec y\tan y}.$ 結果同時含有 $x$ 與 $y$ 是合理的，隱函數曲線本來就如此：要得到一個數值，就得先有一個真正滿足原方程式的點。

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   用隱函數定理核對。 令 $F(x,y)=x\sec y-4y+y\tan 2x$，則 $F_{x}=\sec y+2y\sec^{2}2x$、$F_{y}=x\sec y\tan y-4+\tan 2x$，而 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ 重現了同一個式子。數值測試也證實這一點：在 $x=0.3$ 處曲線通過 $y=0.09084883$，對隱含定義的 $y(x)$ 取中央差分得到 $0.38647161$，而公式給出的也是 $0.38647161$。