解微分方程式 dy/dx + sqrt(1 + (dy/dx)^2) = e^x。

Step-by-step solution

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   把導數換成單一個符號。 令 $p=\dfrac{dy}{dx}$，方程式就讀作

   $p+\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}$

   注意 $y$ 本身從未出現：這個方程式在每個 $x$ 處以代數方式決定 $p$，之後才需要積分一次。這正是這類方程式之所以好處理的全部原因。

2. 2

   在平方之前先把根號隔離出來。 直接把方程式原樣平方會留下交叉項；先隔離就能避開它：

   $\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}-p$

   為了讓平方根非負，我們需要 $e^{x}\ge p$，這個條件最後要回頭確認。

3. 3

   平方，看著 $p^{2}$ 抵消。

   $1+p^{2}=e^{2x}-2e^{x}p+p^{2}\ \Longrightarrow\ 1=e^{2x}-2e^{x}p$

   二次項消失了，留下關於 $p$ 的線性方程式——正是這次抵消，讓問題能以封閉形式解出。

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   解出 $p$，並認出雙曲正弦。

   $2e^{x}p=e^{2x}-1\ \Longrightarrow\ p=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x$

5. 5

   積分一次。

   $y=\int\sinh x\,dx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+C=\cosh x+C$

   對一階方程式而言，單一個任意常數才是正確的。

6. 6

   檢查這個解與平方時的條件。 取 $p=\sinh x$：$p+\sqrt{1+\sinh^{2}x}=\sinh x+\cosh x=e^{x}$ ✓（用到 $\cosh^{2}-\sinh^{2}=1$ 與 $\cosh x>0$）。條件 $e^{x}-p=\cosh x>0$ 對所有 $x$ 都成立，所以平方並沒有引入多餘的解。在 $x=2$ 處做數值檢查：$\sinh 2+\cosh 2=3.6269+3.7622=7.3891=e^{2}$ ✓。