微分並化簡結果：g(x) = e^x · ln(x² + 1) / (√(sin x) + 2)。

Step-by-step solution

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   先看清結構，再動手微分。 這是一個商，分子本身是乘積，分母裡又藏著一次連鎖律。先替每一塊命名，記帳才不會亂：

   $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\qquad u(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad v(x)=\sqrt{\sin x}+2$

   最外層要用的工具是除法律

   $g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^{2}}$

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   用乘法律加上內部的連鎖律微分分子。 由 $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ 以及 $\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$（對 $x^{2}+1$ 的 $\ln$ 用連鎖律）：

   $u'(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)+e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)$

   一開始就把 $e^{x}$ 提出來，後面的代數會短很多。

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   微分分母。 把 $\sqrt{\sin x}=\left(\sin x\right)^{1/2}$ 寫出來再用連鎖律；常數 $2$ 什麼也不貢獻：

   $v'(x)=\frac{1}{2}\left(\sin x\right)^{-1/2}\cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

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   組合成除法律。 把四塊代進去：

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

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   提出共同的 $e^{x}$ 來化簡。 分子的兩項都帶著 $e^{x}$，所以把它提出來：

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left[\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\right]}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

   再沒有可以約掉的東西了，因為對數與根式沒有共同的因式。

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   注意定義域，並做數值檢查。 這個公式需要 $\sin x>0$ —— 必須嚴格為正，而不只是非負，因為微分之後 $\sqrt{\sin x}$ 會落在分母上 —— 所以 $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$。在 $x=0.5,1,2,2.9$ 處，把公式與取 $h=10^{-6}$ 的 $g$ 中央差分相比，兩者都給出 $0.5943697$、$1.5124325$、$6.3252411$ 與 $27.3951392$，吻合到七位有效數字。