計算 F，即 y 從 −1.65 到 0、x 從 −y/1.1015 到 0 的 (14.1 − 11.515y) dx dy 之二重積分。

Step-by-step solution

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   注意被積函數裡沒有 x。 把一個（對 $x$ 而言的）常數在區間上積分，就只是乘上帶正負號的寬度：$\int_{-y/1.1015}^{0}(14.1-11.515y)\,dx = (14.1-11.515y)\left(0-\left(-\frac{y}{1.1015}\right)\right) = (14.1-11.515y)\frac{y}{1.1015}.$

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   繼續之前先確認這個寬度的正負。 當 $y\in[-1.65,0]$ 時 $-\tfrac{y}{1.1015}\ge 0$，所以下限反而在上限 $0$ 之上，寬度 $\tfrac{y}{1.1015}$ 是負的。而 $14.1-11.515y>0$ 在整段都成立，所以內層積分為負，$F$ 必定是負值 - 這一步正是最常把正負號弄丟的地方。

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   化成單重積分並展開。 $F = \frac{1}{1.1015}\int_{-1.65}^{0}\left(14.1y-11.515y^2\right)dy.$

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   求反導函數。 $\int\left(14.1y-11.515y^2\right)dy = 7.05y^2-\frac{11.515}{3}y^3.$

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   依正確的順序代入上下限。 在 $y=0$ 處反導函數為 $0$，所以 $F=\tfrac{1}{1.1015}\left[0 - G(-1.65)\right]$，其中由 $(-1.65)^2 = 2.7225$ 與 $(-1.65)^3 = -4.492125$ 可得 $G(-1.65) = 7.05(2.7225)-\frac{11.515}{3}(-4.492125) = 19.193625+17.242273 = 36.435898.$

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   相除並寫出帶正負號的結果。 $F = \frac{-36.435898}{1.1015} \approx -33.0784.$ 對 $(14.1-11.515y)\tfrac{y}{1.1015}$ 在 $[-1.65,0]$ 上直接做數值積分會得到 $-33.0784368$，確認了大小與正負號。若題目原本想要的區域是 $x=0$ 與 $x=-\tfrac{y}{1.1015}$ 之間的三角形、上下限按遞增順序書寫，那麼該報的值就是大小 $33.0784$。