f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 - 3x + 2) 在哪些 x 值不連續？請判別每個不連續點是可去或不可去，並說明理由。

Step-by-step solution

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   先找出可疑的地方：分母的零點。 有理函數在分母不為零的地方都連續，所以唯一可能出問題的位置來自

   $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=1,\ x=2.$

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   分子也要因式分解——那才是決定型態的關鍵。 因為 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，

   $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.$

   不連續點是可去的，充要條件就是那個造成問題的因式會被約掉，因為這時雙邊極限存在，只是少了函數值而已。

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   處理 $x=1$：因式被約掉，所以極限存在。 對 $x\neq 1$，函數等於 $\dfrac{x+1}{x-2}$，因此

   $\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1+1}{1-2}=-2,$

   但 $f(1)$ 沒有定義。極限存在卻不等於（缺失的）函數值，所以 $x=1$ 是可去不連續——在 $(1,-2)$ 有一個洞。只要重新定義 $f(1)=-2$ 就補起來了。

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   處理 $x=2$：因式沒被約掉。 在 $x=2$ 附近，約簡後的形式是 $\dfrac{x+1}{x-2}$，分子趨近 $3\neq 0$、分母趨近 $0$，所以

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$

   數值上，$f(1.999999)\approx -3\times 10^{6}$、$f(2.000001)\approx 3\times 10^{6}$。有限極限不存在，所以任何重新定義都救不了它：$x=2$ 是不可去不連續（無窮不連續，對應一條鉛直漸近線）。

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   寫出結論與理由。 $f$ 只在 $x=1$ 與 $x=2$ 不連續；$x=1$ 是可去的，因為公因式 $x-1$ 被約掉且極限 $-2$ 存在；$x=2$ 是不可去的，因為左右極限都是無窮大而且正負相反。