求當 x 趨近 0 時 4 / (x^2 · 2^(1/x)) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   注意 $1/x$ 跨過零時會變號。 當 $x\to 0^{+}$ 時 $1/x\to+\infty$、$2^{1/x}\to+\infty$；當 $x\to 0^{-}$ 時 $1/x\to-\infty$、$2^{1/x}\to 0^{+}$。因為這個因子在兩側的行為完全相反，兩個單側極限必須分開計算——一開始就假設有單一答案，正是這裡的陷阱。

2. 2

   右極限：代換 $t=1/x$。 當 $x\to 0^{+}$ 時 $t\to+\infty$ 且 $x^2=1/t^2$，所以

   $\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot 2^{t}}=\frac{4t^2}{2^{t}}$

   這個代換把難處理的 $0\cdot\infty$ 型分母，轉成多項式與指數之間我們熟悉的競賽。

3. 3

   指數成長獲勝，所以右極限是 0。 對任何固定的冪次，$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{t^{n}}{2^{t}}=0$（用兩次羅必達法則就能解決 $n=2$ 的情形）。因此

   $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=0$

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   左極限：代換 $t=-1/x$。 此時 $x\to 0^{-}$ 給出 $t\to+\infty$、$x^2=1/t^2$ 與 $2^{1/x}=2^{-t}=\dfrac{1}{2^{t}}$，於是式子變成

   $\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{2^{t}}}=4t^2 2^{t}\to+\infty$

   分母的兩個因子都往零縮，所以整個分式會爆開。

5. 5

   結論是雙邊極限不存在。 因為

   $\lim_{x\to 0^{+}}=0\neq +\infty=\lim_{x\to 0^{-}}$

   兩個單側極限並不一致，而雙邊極限只有在兩者一致時才存在。

6. 6

   核對數字。 在 $x=0.02$ 處值是 $8.9\times 10^{-12}$；在 $x=-0.02$ 處是 $1.1\times 10^{19}$。同一個式子，在零的兩側取同樣近的距離求值，結果卻差了三十個數量級——這生動地印證了不存在單一的極限值。