對 (x − 4y) 在矩形 −1 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 1 上的積分：描述區域、計算二重積分，再交換積分順序重算一次。

Step-by-step solution

1. 1

   (a) 讀出上下限。 內層變數是 $x$，上下限為常數 $-1$ 與 $2$；外層是 $y$，從 $0$ 到 $1$。因為四個上下限全是常數，這個區域是矩形：

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\}$

   四個頂點為 $(-1,0)$、$(2,0)$、$(2,1)$ 與 $(-1,1)$。

2. 2

   (b) 把 y 當成常數，對 x 積分。

   $\int_{-1}^{2}(x-4y)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-4yx\right]_{-1}^{2}=(2-8y)-\left(\tfrac12+4y\right)=\frac{3}{2}-12y$

3. 3

   把結果對 y 積分。

   $\int_{0}^{1}\left(\frac32-12y\right)dy=\left[\frac{3y}{2}-6y^{2}\right]_{0}^{1}=\frac32-6=-\frac92$

4. 4

   (c) 交換順序。 在矩形上，上下限只要互換位置就好 —— 不需要分情況討論，因為沒有任何一個變數的範圍依賴另一個：

   $\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy\,dx$

5. 5

   用新的順序計算。 內層對 $y$ 積分：

   $\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy=\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{1}=x-2$

   接著對 $x$ 積分：

   $\int_{-1}^{2}(x-2)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{-1}^{2}=(2-4)-\left(\tfrac12+2\right)=-2-\tfrac52=-\frac92$

   $\boxed{-\dfrac92}$

6. 6

   用捷徑確認。 因為被積函數可以分離、區域又是矩形，$\iint_D(x-4y)\,dA=\left(\int_{-1}^{2}x\,dx\right)(1)-4\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)(3)=\tfrac32-4\left(\tfrac12\right)(3)=\tfrac32-6=-\tfrac92$，與兩種順序都相符 —— 這正是富比尼定理的一個實例，它保證連續的被積函數在矩形上用兩種順序積分會得到一致的結果。