求 √(x² + 6x − 2) 在 x 趨近 3 時的極限。

Step-by-step solution

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   先檢驗根號內的式子在目標點的值。 先算裡面，因為整個問題就在於平方根在那裡有沒有定義、連不連續：

   $x^2+6x-2 \Big|_{x=3} = 9 + 18 - 2 = 25$

   它是正的，所以 $\sqrt{\cdot}$ 在該點的一個鄰域上連續，代入是合法的。

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   把極限搬進根號裡。 對連續的外層函數，

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 3} g(x)}$

   這就是合成函數的極限法則，也是讓這題變成一行就解決的那一步。

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   代入並化簡。

   $\sqrt{\lim_{x\to 3}(x^2+6x-2)} = \sqrt{25} = 5$

   這裡取的是主平方根，所以答案是 $+5$，不是 $\pm 5$。

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   注意這個捷徑在什麼情況下會失效。 如果根號內的式子趨近一個負值，實數範圍內的雙側極限就不存在；如果它趨近 $0$，就得檢查函數在兩側是否都有定義。這裡兩種情況都沒發生——根號內的 $x^2+6x-2$ 對所有 $x > -3 + \sqrt{11} \approx 0.317$ 都是正的，$x = 3$ 舒舒服服地包含在裡面。

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   用數值確認。 在 $x = 2.99$：$\sqrt{8.9401+17.94-2} = \sqrt{24.8801} = 4.98800$。在 $x = 3.01$：$\sqrt{9.0601+18.06-2} = \sqrt{25.1201} = 5.01200$。兩個單側的值把 $5$ 夾在中間並向它收攏 ✓，而符號運算求出的極限正好是 $5$。