解微分方程式 3(1 + t²) dy/dt = 2ty(y³ − 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平衡解找出來。 右邊在 $y=0$ 或 $y^3=1$ 時為零，而常數的 $y$ 滿足 $\tfrac{dy}{dt}=0$，所以

   $y\equiv 0\qquad\text{與}\qquad y\equiv 1$

   都是原方程式的解。一開始就把它們找出來很重要，因為下面的代換會除以 $y$。

2. 2

   認出這是白努利方程式的形式。 兩邊除以 $3(1+t^2)$ 並把右邊展開：

   $\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y=\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y^{4}$

   這是指數 $n=4$ 的白努利方程式，標準解法就是令 $v=y^{1-n}=y^{-3}$。

3. 3

   代入 $v=y^{-3}$。 於是 $\dfrac{dv}{dt}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dt}$，再用 $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}$：

   $\frac{dv}{dt}=-3y^{-4}\cdot\frac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}=-\frac{2t\left(1-y^{-3}\right)}{1+t^2}$

   所以

   $\frac{dv}{dt}-\frac{2t}{1+t^2}\,v=-\frac{2t}{1+t^2}$

   注意正負號：$v$ 的係數是負的。在這裡把它寫成正的，是這道題最常見的失誤，而且會讓最後的答案整個翻掉。

4. 4

   求積分因子。 取 $P(t)=-\dfrac{2t}{1+t^2}$，

   $\mu(t)=\exp\!\left(\int P\,dt\right)=\exp\left(-\ln\left(1+t^2\right)\right)=\frac{1}{1+t^2}$

   兩邊同乘之後，左邊就併成單一個導數：

   $\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{1+t^2}\right)=-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}$

5. 5

   兩邊積分。 右邊本身又是一次代換（令 $u=1+t^2$）：

   $\int-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}\,dt=\frac{1}{1+t^2}+C$

   所以 $\dfrac{v}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+C$，也就是

   $v=1+C\left(1+t^2\right)$

6. 6

   換回 $y$ 並驗算。 因為 $v=y^{-3}$，

   $\frac{1}{y^{3}}=1+C\left(1+t^{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad y=\left[1+C\left(1+t^{2}\right)\right]^{-1/3}$

   取 $C=0.7$、$t=1.7$ 做數值檢查：左邊 $3(1+t^2)y'=-1.60448567$，右邊 $2ty(y^3-1)=-1.60448567$。$\checkmark$（取 $C=0$ 就還原成平衡解 $y\equiv1$。）