求 1/x 在 x = 0 處的泰勒級數，或說明為什麼它不存在。

Step-by-step solution

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   先回想泰勒級數的成立條件。 展開式 $\sum_{n\ge0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 要求 $f$ 在展開中心 $a$ 有定義，而且在該點具有任意階的導數。這兩個條件都只關乎 $a$ 這一個點 —— 一個函數在附近表現得再好，也仍然可能不合格。

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   檢查最前面那個係數。 常數項是 $f(0) = \tfrac{1}{0}$，而它沒有定義。這個級數連開頭都寫不出來，所以 $1/x$ 在 $x = 0$ 處沒有泰勒（馬克勞林）級數。

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   確認這個失效是本質的，不是可去的。 $\lim_{x\to 0^{+}} \tfrac1x = +\infty$，而 $\lim_{x\to 0^{-}} \tfrac1x = -\infty$，所以無法在 $0$ 處指定任何值把這個函數補起來。這個奇異點是不折不扣的 $1$ 階極點，不像 $\tfrac{\sin x}{x}$ 那樣只是可去的破洞。

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   給出真正存在的那個展開式。 允許出現負次冪就得到勞倫級數，而對這個函數而言它已經是最終形式：

   $\frac{1}{x} = x^{-1}$

   在去心圓盤 $0 < |x| < \infty$ 上成立。只有單一個 $x^{-1}$ 項、其餘全無，這正是「在原點有單極點」的意思。

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   對照一個合格的展開中心。 在 $a = 1$ 附近，這個函數是完全解析的：

   $\frac{1}{x} = \frac{1}{1 + (x-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n, \qquad |x-1| < 1$

   收斂半徑 $1$ 恰好就是展開中心 $1$ 到位於 $0$ 的奇異點的距離 —— 這正是有理函數的泰勒級數能延伸多遠的一般規則。

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   驗算這個展開式。 取 $x = 1.2$，前六項給出 $1 - 0.2 + 0.04 - 0.008 + 0.0016 - 0.00032 = 0.83328$，正朝著 $\tfrac{1}{1.2} = 0.8\overline{3}$ 收斂。