用拉普拉斯轉換解積分微分方程：y'(t) 減 2 倍從 0 到 t 的 y(tau) sin(t − tau) 積分等於 1，初始條件 y(0) = −1。

Step-by-step solution

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   認出那個積分是摺積（卷積）。 這個積分的形狀恰好是 $\int_0^t y(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=(y*g)(t)$，其中 $g(t)=\sin t$。這就是拉普拉斯轉換是對的工具的原因：摺積定理說 $\mathcal{L}\{y*g\}=Y(s)G(s)$，於是一個麻煩的積分變成普通的乘積。由 $\mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1}$，積分項轉換成 $\tfrac{2Y(s)}{s^2+1}$。

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   對整條方程做轉換。 用 $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)$ 搭配 $y(0)=-1$，以及 $\mathcal{L}\{1\}=\tfrac1s$：

   $sY(s)+1-\frac{2Y(s)}{s^2+1}=\frac{1}{s}.$

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   代數地解出 $Y(s)$。 把 $Y$ 的項通分收在一起，常數移到右邊：

   $Y(s)\cdot\frac{s(s^2+1)-2}{s^2+1}=\frac{1}{s}-1=\frac{1-s}{s}.$

   那個三次式可分解為 $s^3+s-2=(s-1)(s^2+s+2)$，而 $1-s=-(s-1)$，所以 $(s-1)$ 約掉 —— 這是代數走在正軌上的強烈訊號：

   $Y(s)=-\frac{s^2+1}{s\,(s^2+s+2)}.$

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   拆成部分分式。 寫 $\dfrac{s^2+1}{s(s^2+s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+s+2}$。去分母後得 $(A+B)s^2+(A+C)s+2A=s^2+1$，所以 $2A=1$、$A+C=0$、$A+B=1$，即 $A=\tfrac12$、$B=\tfrac12$、$C=-\tfrac12$。因此

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac{s-1}{2(s^2+s+2)}.$

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   配方法以套上平移定理。 這個二次式有複數根，所以不去分解它，而是寫成 $s^2+s+2=\left(s+\tfrac12\right)^2+\tfrac74$，並把分子也圍繞同一個平移改寫，$s-1=\left(s+\tfrac12\right)-\tfrac32$：

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac12\cdot\frac{s+\tfrac12}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}+\frac34\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}.$

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   逐項反轉換。 三塊分別是常數、阻尼餘弦與阻尼正弦的轉換（最後一項需要因子 $\tfrac{1}{\omega}=\tfrac{2}{\sqrt7}$，所以 $\tfrac34\cdot\tfrac{2}{\sqrt7}=\tfrac{3}{2\sqrt7}$）：

   $y(t)=-\frac12-\frac12e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right).$

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   檢查這個解。 $t=0$ 時正弦項消失，$y(0)=-\tfrac12-\tfrac12=-1$，與初始條件相符。把封閉形式代回去，在好幾個 $t$ 值上數值計算 $y'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau$，每次都得到 $1.000000$，所以這個答案滿足的是原方程，而不只是初始條件。