對 y = log(sin x) 就 x 微分。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是合成函數。 這個函數是對數包住一個三角函數，也就是 $\ln u$，內層函數為 $u=\sin x$。這要用連鎖律，而不是任何對數恆等式。

2. 2

   寫下連鎖律。 對 $y=\ln u$，$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}.$

3. 3

   微分內層函數。 取 $u=\sin x$ 得 $\dfrac{du}{dx}=\cos x$。

4. 4

   代入並化簡。 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.$

5. 5

   注意定義域並做合理性檢查。 原函數需要 $\sin x>0$，所以導數 $\cot x$ 是在這些區間上成立。在 $x=1$ 處導數為 $\cot 1\approx 0.642093$，這與 $\ln(\sin x)$ 在 $x=1$ 的數值差商相符。