求所有使方程式「a 減 x 平方的平方根之餘弦等於 1」恰有 8 個根的參數 a 的值。

Step-by-step solution

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   把餘弦方程翻譯成一串水平位階。 $\cos\theta=1$ 恰好在 $\theta=2\pi k$（$k$ 為整數）時成立，而這裡 $\theta=\sqrt{a-x^2}\ge0$，所以只有 $k=0,1,2,\dots$ 是可能的：

   $\sqrt{a-x^2}=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x^2=a-4\pi^2k^2$

   方程式於是變成一族簡單的二次式，每個 $k$ 一條。

2. 2

   數一數每個位階各貢獻幾個根。 固定一個 $k$：

   • 若 $a-4\pi^2k^2>0$，有兩個根 $x=\pm\sqrt{a-4\pi^2k^2}$；
   • 若 $a-4\pi^2k^2=0$，恰有一個根 $x=0$；
   • 若 $a-4\pi^2k^2<0$，一個也沒有。

   不同的 $k$ 給出不同的 $|x|$，所以不會有根被重複計算。

3. 3

   立刻排除邊界情形。 若 $a=4\pi^2m^2$（$m$ 為某個整數），總數會是 $2m+1$，是奇數。因為 $8$ 是偶數，這樣的 $a$ 都不可能成立，每個位階都必須被嚴格跨過。

4. 4

   要求恰好有四個可用的 $k$。 在沒有等號的情況下，根的個數是 $2\times(\text{number of }k\text{ with }4\pi^2k^2<a)$。要它等於 $8$，就表示 $k=0,1,2,3$ 都必須滿足嚴格不等式，而 $k=4$ 必須失敗：

   $4\pi^2\cdot3^2<a\le 4\pi^2\cdot4^2$

5. 5

   把閉端點修掉。 右端 $a=64\pi^2$ 正是被排除的邊界值之一（它給出 $2\cdot4+1=9$ 個根），必須捨去；而 $a=36\pi^2$ 給出 $2\cdot3+1=7$ 個。答案是開區間

   $36\pi^2<a<64\pi^2$

6. 6

   用計數檢查兩端。 取 $a=50\pi^2$（在區間內），位階 $k=0,1,2,3$ 全部跨過而 $k=4$ 沒有，得 $2\cdot4=8$ 個根。在 $a=36\pi^2$ 時個數掉到 $7$，在 $a=64\pi^2$ 時跳到 $9$，所以兩端的嚴格不等號都不可少。