求 (t − 1) x′ − x + 1 = t 在 t > 1 時的所有解 x(t)。

Step-by-step solution

1. 1

   整理方程式。 把常數移到右邊：$(t-1)\dot{x}-x=t-1.$ 這樣寫之後，右邊剛好是 $t-1$ 的乾淨倍數，這就是整個式子即將收攏的線索。

2. 2

   化成標準線性型。 因為 $t>1$，可以同除 $t-1$：$\dot{x}-\frac{1}{t-1}x=1,$ 這就是 $\dot{x}+p(t)x=q(t)$，其中 $p(t)=-\dfrac{1}{t-1}$、$q(t)=1$。

3. 3

   造出積分因子。 $\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{-\ln(t-1)}=\frac{1}{t-1},$ 其中 $\ln(t-1)$ 不必加絕對值，因為 $t-1>0$。

4. 4

   兩邊同乘，認出乘積律。 $\frac{\dot{x}}{t-1}-\frac{x}{(t-1)^2}=\frac{1}{t-1}\ \Longleftrightarrow\ \left(\frac{x}{t-1}\right)^{\!\prime}=\frac{1}{t-1}.$

5. 5

   積分後還原。 $\frac{x}{t-1}=\ln(t-1)+C\ \Longrightarrow\ x(t)=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr).$

6. 6

   代回驗算。 取 $x=(t-1)(\ln(t-1)+C)$ 可得 $\dot{x}=\ln(t-1)+C+1$，因此 $(t-1)\dot{x}-x+1=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C+1\bigr)-(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr)+1=(t-1)+1=t.$ 這個等式對每個 $C$ 都成立，所以這就是完整的解族。