求 x² − 13·x^(2/4) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   先把指數約到最簡。 $\tfrac{2}{4} = \tfrac12$，所以 $x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$，被積函數就是

   $x^2 - 13\sqrt{x}$

   不約分倒也不算錯，只是會讓下一步算 $n+1$ 時白白多費周折。

2. 2

   用線性性質把積分拆開。

   $\int \left(x^2 - 13x^{1/2}\right)dx = \int x^2\,dx - 13\int x^{1/2}\,dx$

3. 3

   對每一項套用冪次法則。 用 $\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$（兩個指數都不是 $-1$，所以適用）：

   $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

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   把係數乘進去。

   $-13 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -\frac{26}{3}x^{3/2}$

5. 5

   拼出答案。

   $\int \left(x^2 - 13\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{26}{3}x^{3/2} + C$

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   求導檢驗。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^3}{3}\right) = x^2$，$\tfrac{d}{dx}\left(-\tfrac{26}{3}x^{3/2}\right) = -\tfrac{26}{3}\cdot\tfrac32 x^{1/2} = -13\sqrt{x}$。導數恰好回到被積函數。另外注意定義域：$\sqrt{x}$ 要求 $x \ge 0$。