計算 sin(x) 在 x 趨近無窮大時的極限，或說明它為何不存在。

Step-by-step solution

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   回想這個極限若成立會是什麼意思。 說 $\lim_{x\to\infty}\sin x=L$，要求的是對每個容忍度 $\varepsilon>0$ 都存在一個 $M$，使得所有 $x>M$ 都滿足 $|\sin x-L|<\varepsilon$。所以只要有一個不聽話的大 $x$ 數列，就足以摧毀這個主張。

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   注意有界並不夠。 這個函數對每個 $x$ 都滿足 $-1\le\sin x\le1$，所以它從不奔向無窮大。但有界並不蘊涵收斂——有界函數可以永遠震盪下去，而這裡發生的正是這件事。

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   舉出兩個極限不同的子數列。 取

   $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin x_{n}=1,\qquad y_{n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin y_{n}=-1.$

   當 $n\to\infty$ 時 $x_{n}\to\infty$ 且 $y_{n}\to\infty$，然而函數值卻永遠停在 $1$ 與 $-1$。

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   下結論：沒有極限。 如果極限是某個數 $L$，那麼每個趨向無窮大的數列都必須讓函數值趨近 $L$。這裡一個給出 $1$，另一個給出 $-1$，而 $1\ne-1$，所以這樣的 $L$ 不存在：

   $\lim_{x\to\infty}\sin x\ \text{不存在。}$

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   把它跟「極限等於無窮大」區分開。 極限失效有兩種不同的方式：無界地成長（像 $\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$ 那樣），或是震盪（像這裡）。$\sin x$ 只符合第二種。另外也要注意，加了阻尼的版本確實會收斂——由夾擠定理 $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$，因為 $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x$——所以造成失效的是自變數無界增長所帶來的持續震盪，而不是正弦函數本身。