計算 (√(x + 5) − 3)/(x − 4) 在 x 趨近 4 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認它真的是 0/0。 在 $x=4$ 時 $\sqrt{9}-3=0$ 而 $4-4=0$。因為這裡根號的值確實等於那個常數，共軛技巧才會奏效——不像分子趨近非零值的那些情況。

2. 2

   乘上共軛式。 分子分母同乘 $\sqrt{x+5}+3$，它在 $x=4$ 附近絕不為零。

3. 3

   化簡分子。 $\left(\sqrt{x+5}\right)^2-3^2=(x+5)-9=x-4$，所以這個商是 $\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}$。

4. 4

   約分化簡。 對 $x\neq 4$ 它就是 $\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$，而這個函數在 $x=4$ 是連續的。

5. 5

   代入。 $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$。

6. 6

   數值檢查。 把原式在 $x=4+10^{-8}$ 求值得到 $0.1666667$，與 $\frac{1}{6}$ 吻合。