計算 1/Γ(3/5) 乘上 n 從 1 到無窮大的 (1/10)^(8n/5 + 1) 除以 Γ(8n/5 + 1) 之和。

Step-by-step solution

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   先認出這個級數的形狀。 一般項 $\dfrac{z^{\alpha n+1}}{\Gamma(\alpha n+1)}$ 中 $z=\tfrac{1}{10}$、$\alpha=\tfrac85$，屬於 Mittag-Leffler 型的項。它沒有初等的封閉形式，所以實務上的做法是數值求和——而且因為 $z<1$、$\Gamma(\alpha n+1)$ 又是超指數成長，真正有份量的只有寥寥幾項。

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   算出 $n=1$ 的項。 指數是 $\tfrac85(1)+1=2.6$，所以該項為 $\dfrac{10^{-2.6}}{\Gamma(2.6)}=\dfrac{2.511886\times10^{-3}}{1.4296246}=1.757025\times10^{-3}$。

3. 3

   算出 $n=2$ 與 $n=3$ 的項。 $n=2$ 時指數是 $4.2$：$\dfrac{10^{-4.2}}{\Gamma(4.2)}=\dfrac{6.309573\times10^{-5}}{7.7566895}=8.134364\times10^{-6}$。$n=3$ 時指數是 $5.8$：$\dfrac{10^{-5.8}}{\Gamma(5.8)}=\dfrac{1.584893\times10^{-6}}{85.621738}=1.851041\times10^{-8}$。

4. 4

   確認尾巴可以忽略。 $n=4$ 的項是 $2.58\times10^{-11}$，$n=5$ 的項是 $2.48\times10^{-14}$；每往後一項大約掉兩到三個數量級。因此在 $n=3$ 之後截斷，足以把和確定到遠優於六位有效數字： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(1.6n+1)}}{\Gamma(1.6n+1)}=1.765178\times10^{-3}.$

5. 5

   除以 $\Gamma(3/5)$。 代入 $\Gamma(0.6)=1.4891922$， $\frac{1.765178\times10^{-3}}{1.4891922}=1.185326\times10^{-3}.$

6. 6

   寫出最終值。 整個式子到六位有效數字是 $0.00118532$；光是 $n=1$ 那一項就已經提供了其中的 99.5%。