計算 sin(x²) + cos(y²) 在區域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   把和拆成兩個二重積分。 積分具有線性，所以

   $\iint \left(\sin(x^2) + \cos(y^2)\right)dA = \iint \sin(x^2)\,dA + \iint \cos(y^2)\,dA$

   這是關鍵的一步：現在每一塊都只依賴單一變數，儘管兩者都寫不出封閉形式的反導函數。

2. 2

   利用「其中一個變數不出現」把每一塊塌縮。 第一塊裡 $\sin(x^2)$ 不含 $y$，所以內層對 $y$ 的積分就只是乘上區間長度 $1$：

   $\int_0^1\!\!\int_0^1 \sin(x^2)\,dy\,dx = \int_0^1 \sin(x^2)\left(\int_0^1 dy\right)dx = \int_0^1 \sin(x^2)\,dx$

   同樣的論證（改成先對 $x$ 積分）把第二塊化簡成 $\int_0^1 \cos(y^2)\,dy$。

3. 3

   認出剩下的積分是菲涅耳積分。 把兩個啞變數都改名為 $t$：

   $I = \int_0^1 \sin(t^2)\,dt + \int_0^1 \cos(t^2)\,dt$

   $\sin(t^2)$ 與 $\cos(t^2)$ 都沒有初等反導函數 —— 它們定義出菲涅耳函數 $S$ 與 $C$（差一個慣用的 $\pi/2$ 縮放）。所以精確答案是 $\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\left[S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right) + C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right)\right]$，而實用上的答案就是一個數值。

4. 4

   把兩者都算出數值。 高階的高斯-勒讓德求積法給出

   $\int_0^1 \sin(t^2)\,dt = 0.3102683, \qquad \int_0^1 \cos(t^2)\,dt = 0.9045242$

   用級數展開也能確認數量級：$\sin(t^2) \approx t^2$ 積出來約為 $\tfrac13$，而 $\cos(t^2) \approx 1 - \tfrac{t^4}{2}$ 積出來約為 $1 - \tfrac{1}{10} = 0.9$。

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   相加，並與直接的二維數值積分對照。

   $I \approx 0.3102683 + 0.9045242 = 1.2147925$

   不做拆分、直接對原本的二重積分做數值計算會得到 $1.21479254$ —— 與前面吻合到小數點後八位，同時確認了拆分本身以及兩個一維積分值。