解微分方程式 y″ + 2y′ + y = e^(3x)。

Step-by-step solution

1. 1

   把工作拆成兩半。 對常係數線性方程式，通解是 $y=y_h+y_p$：齊次方程式的通解，加上完整方程式的任何一個特解。這兩半各用不同的技巧求得。

2. 2

   先解齊次的部分。 令 $y''+2y'+y=0$ 並代入 $y=e^{rx}$：

   $r^2+2r+1=(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1\ \text{（兩次）}$

   重根只提供一個指數函數，所以第二個線性獨立解是那個指數函數乘上 $x$：

   $y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}$

3. 3

   選對試解函數。 右邊是 $e^{3x}$。因為 $3$ 不是 $r^2+2r+1$ 的根，不會發生共振，直接猜 $y_p=Ae^{3x}$ 就夠了。（若右邊是 $e^{-x}$，剛好對上重根，試解就得多帶一個 $x^2$ 因子。）

4. 4

   代入並解出 $A$。 由 $y_p'=3Ae^{3x}$ 與 $y_p''=9Ae^{3x}$，

   $(9A+6A+A)e^{3x}=e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 16A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{16}$

   這個 $16$ 不是巧合：它就是特徵多項式在該指數處的值，$p(3)=3^2+2(3)+1=16$。

5. 5

   組合出通解。

   $y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$

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   兩個部分都驗證一次。 對 $y_p=\frac{1}{16}e^{3x}$：$\frac{9}{16}+\frac{6}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}=1$，確實重現了 $e^{3x}$ ✓。對 $y_h=xe^{-x}$：$y_h'=(1-x)e^{-x}$、$y_h''=(x-2)e^{-x}$，而 $(x-2)+2(1-x)+x=0$，所以它確實解齊次方程式 ✓。