若極限存在，求 √(x³ + 4x²)/x 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式。 根號與 $x$ 都趨近 $0$，所以這個商是 $\frac{0}{0}$，需要化簡。

2. 2

   在根號內因式分解。 $x^3+4x^2=x^2(x+4)$，所以只要 $x+4\ge 0$ 就有 $\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{x+4}$。

3. 3

   正確處理這個平方根。 關鍵在於 $\sqrt{x^2}=|x|$，不是 $x$。寫成 $\sqrt{x^2}=x$ 正是那個讓這題看起來答案好像是 $2$ 的錯誤。

4. 4

   化簡這個商。 $\frac{|x|\sqrt{x+4}}{x}=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x+4}$，因為 $\frac{|x|}{x}$ 在 $x>0$ 時是 $+1$，在 $x<0$ 時是 $-1$。

5. 5

   取兩個單側極限。 從右邊，$\lim_{x\to 0^+}=+\sqrt{4}=2$。從左邊，$\lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{4}=-2$。

6. 6

   下結論。 兩個單側極限都是有限的，卻不相等，所以雙側極限不存在；這個函數在原點有一個大小為 $4$ 的跳躍。