計算 (x² + 2x − 15)/(x² − 9) 在 x 趨近 3 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先試直接代入，再讀懂結果。 把 $x=3$ 代進分子與分母得到

   $\frac{9+6-15}{9-9}=\frac{0}{0}$

   $\tfrac00$ 是不定型，而不是沒有定義：它是一個訊號，表示分子與分母有共同因式 $(x-3)$，可以把它除掉。

2. 2

   把分子因式分解。 你需要兩個乘積為 $-15$、和為 $+2$ 的數；那就是 $+5$ 與 $-3$：

   $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

3. 3

   把分母按平方差分解。

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   兩個分解式都含有 $(x-3)$，證實了第 1 步的判斷。

4. 4

   約掉共同因式。 對 $x\ne 3$，這個分數等於

   $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+5}{x+3}$

   這裡可以約分，是因為 $x\to 3$ 的極限從不使用 $x=3$ 那一點的值——只用附近的值，而那裡 $x-3\ne 0$。

5. 5

   代入化簡後的式子。 化簡後的函數在 $x=3$ 是連續的：

   $\frac{3+5}{3+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

   數值上，在 $x=2.9999$ 時原本的商是 $1.33334$，在 $x=3.0001$ 時是 $1.33333$，兩者都逼近 $4/3\approx 1.3333$。