求 dx / ((x − 1)·√(−x² + 2x + 3)) 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把根號內的式子配方。 根號內的式子是

   $-x^{2}+2x+3=4-(x-1)^{2}$

   所以這個積分只在 $|x-1|<2$、也就是 $-1<x<3$ 且 $x\neq 1$ 時是實數。$(x-1)$ 同時出現在根號外與根號內，正是找到正確代換的線索。

2. 2

   使用倒數代換。 對形如 $\dfrac{1}{(x-a)\sqrt{\text{二次式}}}$ 的被積函數，令 $x-a=\dfrac1t$。這裡

   $x-1=\frac1t\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{dt}{t^{2}}$

   （注意那個負號：$1/t$ 微分後是 $-1/t^{2}$。把它漏掉，整個答案的正負號就翻過來了。）

3. 3

   改寫根號。 由 $(x-1)^{2}=\tfrac{1}{t^{2}}$，

   $\sqrt{4-(x-1)^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{t^{2}}}=\frac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}$

4. 4

   組出變換後的積分。

   $I=\int\frac{-\dfrac{dt}{t^{2}}}{\dfrac1t\cdot\dfrac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}}=-\int\frac{|t|}{t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=-\operatorname{sgn}(t)\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}$

   那些煩人的 $t^{2}$ 因子完全相消——這正是這個代換的用意。

5. 5

   積出標準形式再代回去。 由於 $\displaystyle\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=\frac12\ln\left|2t+\sqrt{4t^{2}-1}\right|+C$，且 $2t+\sqrt{4t^{2}-1}=\dfrac{2\operatorname{sgn}(x-1)+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{|x-1|}$，那個正負號因子會與對數合併，給出單一條公式

   $\boxed{I=-\frac12\ln\left|\frac{2+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|+C}$

   它在 $-1<x<1$ 與 $1<x<3$ 兩段上都成立。

6. 6

   用微分與數值兩種方式驗證。 把答案微分回去會得到 $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}$。數值上，$\displaystyle\int_{1.5}^{2.5}\frac{dx}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}=0.634036$，而封閉形式給出 $F(2.5)-F(1.5)=0.634036$ ✓；在另一段上，$\displaystyle\int_{0.2}^{0.8}=-0.713212$，公式同樣給出 $-0.713212$ ✓。

7. 7

   當心兩個正負號陷阱。 因為 $(2+\sqrt{\cdot})(2-\sqrt{\cdot})=(x-1)^{2}$，另一種寫法 $\tfrac12\ln\left|\tfrac{2-\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|$ 只差一個常數，同樣有效；但少了前面那個負號的版本在兩段上都是錯的，而把 $dx=+dt/t^{2}$ 寫成這樣、而非 $-dt/t^{2}$，則會讓整個原函數變號。