求正整數 n 時 sin^(2n)(x) 的不定積分。請給出遞迴公式、明確的封閉形式，以及 n = 1, 2, 3 的情形。

Step-by-step solution

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   為什麼要用遞迴公式而不是代換。 對奇數次的正弦，可以剝下一個因子再代換 $u=\cos x$。這個技巧對偶數次 $2n$ 行不通，因為剝不出多餘的正弦。標準的走法改用分部積分，它會把指數降二並產生一個遞迴關係。

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   寫出遞迴公式。 把 $\sin^{m}x=\sin^{m-1}x\cdot\sin x$ 再作分部積分，得到經典結果

   $\int\sin^{m}x\,dx=-\frac{\sin^{m-1}x\cos x}{m}+\frac{m-1}{m}\int\sin^{m-2}x\,dx.$

   取 $m=2n$ 並令 $I_{n}=\int\sin^{2n}x\,dx$，它就成為

   $I_{n}=-\frac{\sin^{2n-1}x\,\cos x}{2n}+\frac{2n-1}{2n}\,I_{n-1},\qquad I_{0}=\int 1\,dx=x.$

   每套用一次就把冪次降 $2$，所以 $n$ 步之後會落到 $I_{0}=x$——這正是為什麼偶數次冪的答案裡總會留下一個光禿禿的 $x$ 項。

3. 3

   由降冪公式得到明確的封閉形式。 把 $\sin^{2n}x$ 展開成倍角餘弦，

   $\sin^{2n}x=\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\cos\bigl(2(n-k)x\bigr),$

   其中每一項都能立刻積出來。常數項 $\binom{2n}{n}/2^{2n}$ 是 $\sin^{2n}$ 在一個週期上的平均值，也正是後來變成 $x$ 項的那一項。

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   逐項積分。 用 $\int\cos(\lambda x)\,dx=\frac{\sin(\lambda x)}{\lambda}$ 並取 $\lambda=2(n-k)$：

   $\int\sin^{2n}x\,dx=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\,x+\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\frac{\sin\bigl(2(n-k)x\bigr)}{n-k}+C.$

   由 $\tfrac{1}{2(n-k)}$ 多出來的那個因子 $\tfrac12$，正是讓分母從 $2^{2n-1}$ 變成 $2^{2n}$ 的原因。

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   寫出前三個情形。 用任一個公式跑 $n=1,2,3$：

   $\int\sin^{2}x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,$

   $\int\sin^{4}x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C,$

   $\int\sin^{6}x\,dx=\frac{5x}{16}-\frac{15\sin 2x}{64}+\frac{3\sin 4x}{64}-\frac{\sin 6x}{192}+C.$

   領導係數 $\tfrac12,\tfrac38,\tfrac{5}{16}$ 恰好就是 $\binom{2n}{n}/2^{2n}$，與 Wallis 的規律相符。

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   做數值檢查。 把封閉形式在 $[0,1.3]$ 上求值，並與 Simpson 求積比對：$n=1$ 兩種算法都給 $0.5211246570$，$n=2$ 給 $0.3310166991$，$n=3$ 給 $0.2388166824$。三者都吻合到十位數字 ✓。