求 (tan x − sin x) / x² 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   不要把 $\tan x$ 與 $\sin x$ 各自換成 $x$。 兩者在 $0$ 附近都與 $x$ 等價，所以這個捷徑會給出分子 $x-x=0$，答案 $0$ 卻是「用錯的理由得到的」。等價無窮小可以在乘積與商裡代換，絕不能用在最低次項會互相抵消的差裡。必須先找出分子真正的量級。

2. 2

   從分子提出 $\sin x$。 寫成 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$：

   $\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}$

   這個恆等改寫把一個危險的差，換成三塊都很好懂的東西的乘積。

3. 3

   把商拆成標準極限。 除以 $x^2=x\cdot x$，讓每個因式各配一個 $x$：

   $\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$

   現在每個因式都是課本上的極限，而且三者都收斂，所以極限的乘積律適用。

4. 4

   計算這三個因式。

   $\frac{\sin x}{x}\to 1,\qquad \frac{1-\cos x}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{\cos x}\to 1$

   中間那個是決定性的因式：$1-\cos x\approx\tfrac{x^2}{2}$，所以只除以一個 $x$ 之後，剩下的東西仍然會消失。

5. 5

   把三個極限相乘。

   $1\cdot 0\cdot 1=0$

6. 6

   用泰勒級數交叉驗證。 由 $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ 與 $\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)$，兩者之差是 $\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^3}{6}=\tfrac{x^3}{2}$。除以 $x^2$ 之後剩下 $\tfrac{x}{2}\to 0$。數值上這個商在 $x=0.1$ 時是 $0.0501$，在 $x=0.01$ 時是 $0.0050$——每次都縮小十倍，跟 $x/2$ 一模一樣。