計算 y 從 0 到 √3/2、x 從 1 − √(1 − y²) 到 √(1 − y²) 的二重積分 x + xy dx dy。

Step-by-step solution

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   動手積分前，先把區域看懂。 外側的積分限 $x=\sqrt{1-y^2}$ 是以原點為圓心的單位圓右半部；內側的 $x=1-\sqrt{1-y^2}$ 則是以 $(1,0)$ 為圓心的單位圓左半弧。所以區域是夾在兩段圓弧之間的水平長條，從 $y=0$ 一路到 $y=\tfrac{\sqrt3}{2}$。

2. 2

   把被積函數因式分解，並提出對 x 而言是常數的部分。 $x+xy = x(1+y)$，而 $1+y$ 不含 $x$： $I = \int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\left(\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x\,dx\right)dy.$

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   內層積分用平方差的捷徑。 記 $a=\sqrt{1-y^2}$， $\int_{1-a}^{a} x\,dx = \frac{a^2-(1-a)^2}{2} = \frac{2a-1}{2} = a-\frac12 = \sqrt{1-y^2}-\frac12.$ 把 $(1-a)^2$ 展開後 $a^2$ 相消，正是它能收得這麼乾淨的原因。

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   把剩下的單變數積分拆開。 $I = \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_1} + \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2} y\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_2} - \underbrace{\frac12\int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\,dy}_{B}.$

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   逐項算出三塊。 $A_1$ 用標準原函數 $\tfrac12\left(y\sqrt{1-y^2}+\arcsin y\right)$；配上 $\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\pi}{3}$ 得到 $\tfrac{\sqrt3}{8}+\tfrac{\pi}{6}$。$A_2$ 用 $u=1-y^2$：$-\tfrac13(1-y^2)^{3/2}$ 從 $0$ 代到 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 得 $\tfrac13-\tfrac{1}{24}=\tfrac{7}{24}$。至於 $B = \tfrac12\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac38\right) = \tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac{3}{16}$。

6. 6

   同類項合併。 $\sqrt3$ 的項給出 $\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{4} = -\tfrac{\sqrt3}{8}$，有理數的項給出 $\tfrac{7}{24}-\tfrac{3}{16} = \tfrac{14-9}{48} = \tfrac{5}{48}$。因此 $I = \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{5}{48} \approx 0.411259.$

7. 7

   用數值積分檢驗。 把內層結果構成的函數 $(1+y)\left(\sqrt{1-y^2}-\tfrac12\right)$ 在 $[0,\tfrac{\sqrt3}{2}]$ 上做數值積分，得到 $0.4112590913$，與封閉形式吻合到小數點後十位。