解微分方程式 X'' = -0.1X。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一項移到同一邊，露出標準形式。 二階線性理論只適用於寫成 $aX''+bX'+cX=0$ 的方程式，所以兩邊各加上 $0.1X$：

   $X''+0.1X=0$

   右邊既沒有 $X'$ 項也沒有外力項，所以這是齊次而且常係數的——正是指數試解法能精確解決的情形。

2. 2

   代入 $X=e^{rt}$，把微積分變成代數。 微分兩次得到 $X'=re^{rt}$ 與 $X''=r^{2}e^{rt}$，所以方程式成為

   $r^{2}e^{rt}+0.1e^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+0.1\right)=0$

   由於對任何實數 $t$，$e^{rt}$ 都不為零，括號必須為零。剩下的就是特徵方程式 $r^{2}+0.1=0$。

3. 3

   解出 $r$，並讀出 $r^{2}$ 的正負號。

   $r^{2}=-0.1\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i\sqrt{0.1}=\pm\frac{i}{\sqrt{10}}$

   這兩個根是純虛數：完全沒有實部。這正是無阻尼振盪的代數特徵——方程式裡沒有任何東西會成長或衰減。

4. 4

   把複數根換成實數的正弦與餘弦。 對一對共軛根 $r=\pm i\omega$，兩個實數的獨立解是 $\cos(\omega t)$ 與 $\sin(\omega t)$，所以取 $\omega=\sqrt{0.1}$：

   $X(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)$

   把 $\sqrt{0.1}=1/\sqrt{10}$ 代進去，就得到等價的形式 $X(t)=C_{1}\cos(t/\sqrt{10})+C_{2}\sin(t/\sqrt{10})$。

5. 5

   代回去檢查。 微分兩次會讓每一項都乘上 $-\omega^{2}=-0.1$，所以 $X''=-0.1X$ 恆等成立。取 $C_{1}=1.3$、$C_{2}=-0.7$，在 $t=0.5$、$1.7$ 與 $3.3$ 處對 $X$ 做數值二階差分，重現出 $-0.1X(t)$，誤差在 $10^{-6}$ 以內 ✓。

6. 6

   解讀這兩個常數。 角頻率是 $\omega=\sqrt{0.1}\approx0.3162$ 弧度每單位時間，所以週期是 $T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{10}\approx19.87$。兩個常數 $C_{1}$ 與 $C_{2}$ 由初始資料決定：$C_{1}=X(0)$ 以及 $C_{2}=X'(0)/\omega$。