求 f(x) = (−4x³ + 7x + 9)/(8x⁶ − 9x⁴ − 2x) 在 x 趨近負無窮大與 x 趨近正無窮大時的末端行為。

Step-by-step solution

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   其他都先別做，先比較次數。 分子的次數是 $3$，分母是 $6$。只要分母的次數勝出（無論差多少），這個商在兩端都會被壓向 $0$ ——低次項改變不了這一點。

2. 2

   只保留最高次項。 當 $|x|$ 很大時， $f(x)\approx\frac{-4x^3}{8x^6}=\frac{-1}{2x^3}.$ 嚴格一點的做法是分子分母同除以 $x^6$；除了分母裡的常數 $8$ 之外，其餘留下來的項全都趨近 $0$。

3. 3

   取 $x\to+\infty$。 此時 $x^3\to+\infty$，所以 $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$ 且是從負值那一側趨近：$f(x)\to 0^{-}$。

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   取 $x\to-\infty$。 此時 $x^3\to-\infty$，所以 $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$ 且是從正值那一側趨近：$f(x)\to 0^{+}$。

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   寫出結論。 兩個極限都是 $0$，所以 $y=0$ 是兩側共同的水平漸近線。數值上 $f(10^{6})\approx-5\times10^{-19}$、$f(-10^{6})\approx+5\times10^{-19}$，與符號分析一致。