求 ln(3x²) 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   對對數套連鎖律。 對任何可微的內層函數，

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$

   這裡 $u=3x^2$，所以導數就是「內層的導數除以內層」—— 一條公式就夠了，不需要乘法律。

2. 2

   微分內層。

   $u=3x^2\ \Longrightarrow\ u'=6x$

3. 3

   組成商並化簡。

   $\frac{d}{dx}\ln\left(3x^2\right)=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$

   係數 $3$ 與一次冪的 $x$ 都被約掉。答案在 $x\neq 0$ 時成立，這也正是 $\ln(3x^2)$ 有定義的範圍。

4. 4

   看看這個 3 為什麼一定會消失。 由對數律，

   $\ln\left(3x^2\right)=\ln 3+2\ln x$

   也就是一個常數加上 $2\ln x$。常數微分後為零，所以導數是 $2\cdot\tfrac1x=\tfrac2x$ —— 既與前面相符，也解釋了為什麼會約掉。對數裡任何相乘的常數，對導數而言都是隱形的。

5. 5

   數值檢查。 在 $x=2.3$ 處中央差分給出 $0.8695652$，而 $\tfrac{2}{2.3}=0.8695652$ ✓。注意導數在 $x>0$ 時為正、在 $x<0$ 時為負，這與 $\ln(3x^2)$ 呈 U 形的定義域相符。