求當 x 趨於正無窮大時 (2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) 的極限。

Step-by-step solution

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   先判斷是什麼類型。 $2^x$ 與 $3^x$ 都趨於 $\infty$，所以這個商是 $\tfrac{\infty-\infty}{\infty+\infty}$——未定型。順帶一提，羅必達法則在這裡並不好用：求導之後形狀照舊，只是多出 $\ln 2$、$\ln 3$ 這些因子，永遠化簡不下去。

2. 2

   判斷哪個指數函數佔主導。 當 $x$ 很大時，比較底數就能決定一切：由於 $3>2$，

   $\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{當 }x\to\infty$

   因為底數 $\tfrac23<1$。所以分子分母裡佔主導的都是 $3^x$。

3. 3

   分子分母同除以主導項 $3^{x}$。 這是關鍵的一步代數變形——除以增長最快的那個量，正是消除未定性的辦法：

   $\frac{2^{x}-3^{x}}{2^{x}+3^{x}}=\frac{\left(\frac23\right)^{x}-1}{\left(\frac23\right)^{x}+1}$

4. 4

   取極限。 記 $t=\left(\tfrac23\right)^{x}\to 0^{+}$：

   $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-1}{t+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1$

   所以極限是 $-1$。直觀上講，$-3^x$ 把其他項都壓過去了，比值趨近於 $\tfrac{-3^x}{3^x}=-1$。

5. 5

   數值驗證趨近過程，並看看反方向。 當 $x=50$ 時商是 $-0.9999999969$，到 $x=200$ 已經在機器精度下等於 $-1$ $\checkmark$。趨近是從上方進行的，因為 $\tfrac{t-1}{t+1}<0$，但隨著 $t\to 0$ 逐漸下降到 $-1$。作為對照，當 $x\to-\infty$ 時角色互換——這時是 $2^x$ 佔主導——同一個式子趨於 $+1$。