解微分方程式 dy/dx = e^y。

Step-by-step solution

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   分離變數。 所有對 $y$ 的依賴都在右邊，所以除以 $e^{y}$——這是合法的，因為 $e^{y}$ 從來不為零：

   $e^{-y}\,dy = dx$

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   兩邊積分。

   $\int e^{-y}\,dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -e^{-y} = x + C_0$

   只需要一個常數；把負號吸收掉，寫成 $e^{-y} = C - x$，其中 $C = -C_0$。

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   明確解出 y。 取自然對數需要 $C - x > 0$：

   $-y = \ln(C - x) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln(C - x)$

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   讀出定義域，這才是有趣的地方。 解只在 $x < C$ 時存在。當 $x \to C^{-}$ 時對數的引數趨於 $0^{+}$，而 $y \to +\infty$：解在有限的 $x$ 之內就爆掉了，儘管右邊的 $e^{y}$ 處處光滑。這是「局部存在並不蘊涵整體存在」的標準範例。

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   代回去檢查。 取 $C = 5$、$x = 1$：$y = -\ln 4 \approx -1.386294$，所以 $e^{y} = \tfrac14 = 0.25$。微分得 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{C-x} = \frac14 = 0.25$。兩者一致，而在 $x = 1$ 處以步長 $10^{-6}$ 做中央差分同樣回傳 $0.250000$。